Глава I. §1. п.1 Рациональные числа — с. 10
2. Какое из множеств (A или B) является подмножеством другого: а) A — множество чётных чисел, B — множество чисел, кратных 4; б) A — множество делителей числа 12, B — множество делителей числа 60; в) A — множество треугольников, B — множество прямоугольных треугольников?
а) Всякое число, кратное 4, делится на 2, то есть чётно. Значит, каждый элемент B принадлежит A: B ⊂ A. Обратное неверно: число 2 чётное, но не кратно 4.
б) Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Делители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Все делители числа 12 есть среди делителей 60 (12 делит 60), поэтому A ⊂ B.
в) Каждый прямоугольный треугольник является треугольником, поэтому B ⊂ A.
б) Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Делители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Все делители числа 12 есть среди делителей 60 (12 делит 60), поэтому A ⊂ B.
в) Каждый прямоугольный треугольник является треугольником, поэтому B ⊂ A.
3. Представьте в виде отношения целого числа к натуральному несколькими способами числа 1 2/5; 0,3; −3 1/4; −27; 0.
Дробь можно записывать по-разному, умножая числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.
1 2/5 = 7/5 = 14/10 = 21/15.
0,3 = 3/10 = 6/20 = 9/30.
−3 1/4 = −13/4 = −26/8 = −39/12.
−27 = −27/1 = −54/2 = −81/3.
0 = 0/1 = 0/2 = 0/5.
1 2/5 = 7/5 = 14/10 = 21/15.
0,3 = 3/10 = 6/20 = 9/30.
−3 1/4 = −13/4 = −26/8 = −39/12.
−27 = −27/1 = −54/2 = −81/3.
0 = 0/1 = 0/2 = 0/5.
4. Представьте в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем числа 36; −45; 4,2; −0,8; 15 1/6; −2/9.
Нужна несократимая дробь.
36 = 36/1.
−45 = −45/1.
4,2 = 42/10 = 21/5.
−0,8 = −8/10 = −4/5.
15 1/6 = (15·6 + 1)/6 = 91/6 (91 и 6 взаимно просты).
−2/9 — дробь уже несократима.
36 = 36/1.
−45 = −45/1.
4,2 = 42/10 = 21/5.
−0,8 = −8/10 = −4/5.
15 1/6 = (15·6 + 1)/6 = 91/6 (91 и 6 взаимно просты).
−2/9 — дробь уже несократима.
5. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число: а) 1/3; б) 5/6; в) 1/7; г) −20/9; д) −8/15; е) 10,28; ж) −17; з) 3/16; и) −1 3/40; к) 2 7/11.
Делим числитель на знаменатель углом.
а) 1 : 3 = 0,333… = 0,(3).
б) 5 : 6 = 0,8333… = 0,8(3).
в) 1 : 7 = 0,142857142857… — остатки 3, 2, 6, 4, 5, 1 повторяются, период 142857: 0,(142857).
г) 20/9 = 2,222…, значит −20/9 = −2,(2).
д) 8 : 15 = 0,5333…, значит −8/15 = −0,5(3).
е) 10,28 = 10,2800… = 10,28(0).
ж) −17 = −17,000… = −17,(0).
з) 3 : 16 = 0,1875, значит 3/16 = 0,1875(0).
и) 3/40 = 0,075, поэтому −1 3/40 = −1,075 = −1,075(0).
к) 7 : 11 = 0,6363…, поэтому 2 7/11 = 2,(63).
а) 1 : 3 = 0,333… = 0,(3).
б) 5 : 6 = 0,8333… = 0,8(3).
в) 1 : 7 = 0,142857142857… — остатки 3, 2, 6, 4, 5, 1 повторяются, период 142857: 0,(142857).
г) 20/9 = 2,222…, значит −20/9 = −2,(2).
д) 8 : 15 = 0,5333…, значит −8/15 = −0,5(3).
е) 10,28 = 10,2800… = 10,28(0).
ж) −17 = −17,000… = −17,(0).
з) 3 : 16 = 0,1875, значит 3/16 = 0,1875(0).
и) 3/40 = 0,075, поэтому −1 3/40 = −1,075 = −1,075(0).
к) 7 : 11 = 0,6363…, поэтому 2 7/11 = 2,(63).
6. Сравните рациональные числа: а) 0,013 и 0,1004; б) −24 и 0,003; в) −3,24 и −3,42; г) 3/8 и 0,375; д) −1,174 и −1 7/40; е) 10/11 и 11/12; ж) −2,005 и −2,04; з) −1 3/4 и −1,75; и) 0,437 и 7/16; к) −1/8 и −0,13; л) 1,37 и 1,(37); м) −5,(34) и −5,34.
а) 0,013 = 0,0130 < 0,1004, так как в разряде десятых 0 < 1. Итак, 0,013 < 0,1004.
б) Отрицательное число меньше положительного: −24 < 0,003.
в) Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше: 3,24 < 3,42, поэтому −3,24 > −3,42.
г) 3/8 = 0,375, числа равны: 3/8 = 0,375.
д) 1 7/40 = 1,175; |−1,174| = 1,174 < 1,175, поэтому −1,174 > −1 7/40.
е) Приведём к общему знаменателю 132: 10/11 = 120/132, 11/12 = 121/132. Значит, 10/11 < 11/12.
ж) 2,005 < 2,04, поэтому −2,005 > −2,04.
з) 1 3/4 = 1,75, числа равны: −1 3/4 = −1,75.
и) 7/16 = 0,4375 > 0,437, поэтому 0,437 < 7/16.
к) 1/8 = 0,125 < 0,13, поэтому −1/8 > −0,13.
л) 1,(37) = 1,373737…, а 1,37 = 1,370000…; сравнивая по разрядам, видим, что в тысячных 0 < 3. Итак, 1,37 < 1,(37).
м) −5,(34) = −5,343434…, −5,34 = −5,340000…; 5,3434… > 5,34, поэтому −5,(34) < −5,34.
б) Отрицательное число меньше положительного: −24 < 0,003.
в) Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше: 3,24 < 3,42, поэтому −3,24 > −3,42.
г) 3/8 = 0,375, числа равны: 3/8 = 0,375.
д) 1 7/40 = 1,175; |−1,174| = 1,174 < 1,175, поэтому −1,174 > −1 7/40.
е) Приведём к общему знаменателю 132: 10/11 = 120/132, 11/12 = 121/132. Значит, 10/11 < 11/12.
ж) 2,005 < 2,04, поэтому −2,005 > −2,04.
з) 1 3/4 = 1,75, числа равны: −1 3/4 = −1,75.
и) 7/16 = 0,4375 > 0,437, поэтому 0,437 < 7/16.
к) 1/8 = 0,125 < 0,13, поэтому −1/8 > −0,13.
л) 1,(37) = 1,373737…, а 1,37 = 1,370000…; сравнивая по разрядам, видим, что в тысячных 0 < 3. Итак, 1,37 < 1,(37).
м) −5,(34) = −5,343434…, −5,34 = −5,340000…; 5,3434… > 5,34, поэтому −5,(34) < −5,34.
7. Укажите какое-либо число, которое: а) больше 1/8, но меньше 1/7; б) больше 1/6, но меньше 1/5.
Запишем границы десятичными дробями.
а) 1/8 = 0,125; 1/7 = 0,1428…; подходит, например, 0,13: 1/8 < 0,13 < 1/7.
б) 1/6 = 0,1666…; 1/5 = 0,2; подходит, например, 0,18: 1/6 < 0,18 < 1/5.
Можно взять и другие числа из этих промежутков.
а) 1/8 = 0,125; 1/7 = 0,1428…; подходит, например, 0,13: 1/8 < 0,13 < 1/7.
б) 1/6 = 0,1666…; 1/5 = 0,2; подходит, например, 0,18: 1/6 < 0,18 < 1/5.
Можно взять и другие числа из этих промежутков.
8. Укажите несколько чисел, заключённых между: а) 10 и 10,1; б) −0,001 и 0; в) −1001 и −1000; г) 1/3 и 2/3.
а) 10,02; 10,05; 10,09.
б) −0,0002; −0,0005; −0,0009.
в) −1000,1; −1000,5; −1000,9.
г) 1/3 = 0,333…, 2/3 = 0,666…; подходят 0,4; 0,5; 0,6.
Любые числа из этих промежутков годятся.
б) −0,0002; −0,0005; −0,0009.
в) −1000,1; −1000,5; −1000,9.
г) 1/3 = 0,333…, 2/3 = 0,666…; подходят 0,4; 0,5; 0,6.
Любые числа из этих промежутков годятся.
9. Запишите пять чисел, заключённых между числами: а) 1,3 и 1,4; б) 5 и 5 1/6; в) −10 000 и −1000; г) −1/3 и −1/4.
а) 1,31; 1,32; 1,33; 1,34; 1,35.
б) 5 1/6 = 5,1666…; подходят 5,01; 5,05; 5,1; 5,11; 5,15.
в) −9000; −8000; −5000; −3000; −2000.
г) −1/3 = −0,333…, −1/4 = −0,25; подходят −0,3; −0,29; −0,28; −0,27; −0,26.
Можно назвать и другие числа из этих промежутков.
б) 5 1/6 = 5,1666…; подходят 5,01; 5,05; 5,1; 5,11; 5,15.
в) −9000; −8000; −5000; −3000; −2000.
г) −1/3 = −0,333…, −1/4 = −0,25; подходят −0,3; −0,29; −0,28; −0,27; −0,26.
Можно назвать и другие числа из этих промежутков.