Глава 3. § 28. Сила тяжести и сила всемирного тяготения — с. 95
§ 28. Вопрос 1. Справедлив ли закон всемирного тяготения для тел произвольной формы?
Нет, не для любых. Формула F = G·m₁m₂/r² справедлива для материальных точек (тел, размеры которых много меньше расстояния между ними) и для однородных шаров, причём r — расстояние между их центрами. Для тел произвольной формы, размеры которых сравнимы с расстоянием между ними, силу нужно находить, разбив тела на малые части и сложив силы векторно.
§ 28. Вопрос 2. Какие силы называют центральными?
Центральными называют силы, направленные вдоль прямой, соединяющей центры (или точки) взаимодействующих тел. Силы гравитационного притяжения материальных точек и однородных шаров центральные: они лежат на прямой, проходящей через центры шаров, и по третьему закону Ньютона равны по модулю и противоположны по направлению.
§ 28. Вопрос 3. Каков физический смысл гравитационной постоянной?
Гравитационная постоянная G — коэффициент пропорциональности в законе всемирного тяготения. Она численно равна силе притяжения между двумя материальными точками массой по 1 кг каждая, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга. Значение G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг² (= м³/(кг·с²)); оно очень мало, поэтому притяжение обычных тел незаметно. Впервые G измерил Г. Кавендиш в 1798 г. на крутильных весах.
§ 28. Вопрос 4. От чего зависит ускорение свободного падения?
Ускорение свободного падения g = GM/R² не зависит от массы падающего тела. Оно зависит от массы M и радиуса R планеты, от высоты h над поверхностью (g = GM/(R + h)² убывает с высотой) и от географической широты: от экватора к полюсам g растёт (9,78 м/с² на экваторе, 9,83 м/с² на полюсе), так как Земля сплюснута у полюсов и вращается вокруг своей оси.
§ 28. Вопрос 5. Как доказать, что инертная масса равна гравитационной?
Инертная масса mи входит во второй закон Ньютона (a = F/mи), гравитационная mг — в закон тяготения (F = G·mг·M/R²). Ускорение свободного падения a = (mг/mи)·GM/R². Опыт (Галилея, Ньютона и др.) показывает, что все тела вблизи Земли падают с одним и тем же ускорением независимо от массы и вещества. Значит, отношение mг/mи одинаково для всех тел, и, выбрав единицы так, чтобы оно равнялось 1, получаем mи = mг. Равенство подтверждено опытом и является его непосредственным следствием, а не следствием механики Ньютона.
§ 28. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. К каким двум телам массами m₁ и m₂ на расстоянии r друг от друга применим закон всемирного тяготения в форме F = G·m₁m₂/r²?
1) к любым телам при любых расстояниях между ними
2) только к небесным телам при больших расстояниях между ними
3) к любым телам с размерами, значительно меньшими расстояния r
4) только к телам шарообразной формы
1) к любым телам при любых расстояниях между ними
2) только к небесным телам при больших расстояниях между ними
3) к любым телам с размерами, значительно меньшими расстояния r
4) только к телам шарообразной формы
Формула справедлива для материальных точек, то есть для любых тел, размеры которых значительно меньше расстояния между ними (а также для однородных шаров при любых расстояниях). Вариант 1 неверен (тела большого размера вплотную), 2 и 4 слишком узки: закон применим и к небольшим телам, и ко всем малым по сравнению с r телам любой формы.
Ответ: 3) к любым телам с размерами, значительно меньшими расстояния r.
Ответ: 3) к любым телам с размерами, значительно меньшими расстояния r.
§ 28. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. Расстояние между центрами двух шаров равно 1 м, масса каждого шара 1 кг. Сила всемирного тяготения между ними равна
1) 1 Н
2) 0,001 Н
3) 7·10⁻⁵ Н
4) 7·10⁻¹¹ Н
1) 1 Н
2) 0,001 Н
3) 7·10⁻⁵ Н
4) 7·10⁻¹¹ Н
F = G·m₁m₂/r² = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг² · 1 кг · 1 кг / (1 м)² = 6,67·10⁻¹¹ Н ≈ 7·10⁻¹¹ Н (численно равна G).
Ответ: 4) 7·10⁻¹¹ Н.
Ответ: 4) 7·10⁻¹¹ Н.
§ 28. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. При увеличении в 3 раза расстояния между центрами шарообразных тел сила гравитационного притяжения
1) увеличивается в 3 раза
2) уменьшается в 3 раза
3) увеличивается в 9 раз
4) уменьшается в 9 раз
1) увеличивается в 3 раза
2) уменьшается в 3 раза
3) увеличивается в 9 раз
4) уменьшается в 9 раз
Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния: F ~ 1/r². При r′ = 3r получаем F′ = G·m₁m₂/(3r)² = F/9. Сила уменьшается в 9 раз.
Ответ: 4) уменьшается в 9 раз.
Ответ: 4) уменьшается в 9 раз.
§ 28. Образец заданий ЕГЭ, задание 4. По какой из приведённых формул можно рассчитать силу гравитационного притяжения между двумя кораблями одинаковой массы m (см. рис.)?
Считайте, что b много больше размеров кораблей.
[рисунок: вид сверху двух одинаковых кораблей, расположенных рядом; между ними вертикальная осевая линия, от центра каждого корабля до этой линии отложено расстояние b (b и b)]
1) F = Gm²/b²
2) F = Gm²/4b²
3) F = Gm²/16b²
4) ни по одной из указанных формул
[рисунок: вид сверху двух одинаковых кораблей, расположенных рядом; между ними вертикальная осевая линия, от центра каждого корабля до этой линии отложено расстояние b (b и b)]
1) F = Gm²/b²
2) F = Gm²/4b²
3) F = Gm²/16b²
4) ни по одной из указанных формул
Корабли можно считать материальными точками, так как b много больше их размеров. Расстояние между центрами кораблей равно сумме двух отрезков b, то есть r = 2b. По закону всемирного тяготения F = G·m·m/r² = G·m²/(2b)² = G·m²/(4b²).
Ответ: 2. F = Gm²/4b².
Ответ: 2. F = Gm²/4b².
§ 28. Образец заданий ЕГЭ, задание 5. Два маленьких шарика массой m каждый находятся на расстоянии r друг от друга и притягиваются с силой F. Чему равна сила гравитационного притяжения двух других шариков, если масса каждого из них m/2, а расстояние между их центрами 2r?
1) F/2
2) F/4
3) F/8
4) F/16
1) F/2
2) F/4
3) F/8
4) F/16
Исходная сила F = G·m²/r². Для новых шариков F′ = G·(m/2)·(m/2)/(2r)² = G·(m²/4)/(4r²) = G·m²/(16r²) = F/16.
Ответ: 4. F/16.
Ответ: 4. F/16.