Глава 14. § 105. Примеры решения задач по теме «Электроёмкость. Энергия заряженного конденсатора» — с. 349
§ 105. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. Маленький шарик с зарядом q = 4·10⁻⁷ Кл и массой 3 г, подвешенный на невесомой нити с коэффициентом упругости 100 Н/м, находится между вертикальными пластинами воздушного конденсатора (см. рис.). Расстояние между обкладками конденсатора 5 см. Чему равна разность потенциалов между обкладками конденсатора, если удлинение нити 0,5 мм?
[рисунок: шарик с зарядом +q на нити, подвешенной к потолку, между двумя вертикальными пластинами конденсатора]
[рисунок: шарик с зарядом +q на нити, подвешенной к потолку, между двумя вертикальными пластинами конденсатора]
На шарик действуют сила тяжести mg (вниз), сила электрического поля F = qE (горизонтально, так как пластины вертикальны) и сила упругости нити T (вдоль нити). Нить растянута на Δx, поэтому T = kΔx = 100 Н/м · 5·10⁻⁴ м = 0,05 Н. Шарик в равновесии, значит T² = (mg)² + F². При g = 10 м/с² имеем mg = 0,03 Н, откуда F = √(0,05² − 0,03²) = 0,04 Н.
Напряжённость E = U/d, поэтому F = qU/d и U = F·d/q = 0,04 · 0,05 / (4·10⁻⁷) = 5000 В.
Ответ: U = 5000 В (взято g = 10 м/с²).
Напряжённость E = U/d, поэтому F = qU/d и U = F·d/q = 0,04 · 0,05 / (4·10⁻⁷) = 5000 В.
Ответ: U = 5000 В (взято g = 10 м/с²).
§ 105. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. В плоский конденсатор длиной L = 5 см влетает электрон под углом α = 15° к пластинам. Энергия электрона W = 2,4·10⁻¹⁶ Дж. Расстояние между пластинами d = 1 см. Определите разность потенциалов между пластинами конденсатора U, при которой электрон на выходе из конденсатора будет двигаться параллельно пластинам. Заряд электрона qₑ = 1,6·10⁻¹⁹ Кл.
Вдоль пластин электрон движется равномерно: vₓ = v·cosα, время пролёта t = L/(v·cosα). Поперёк пластин сила постоянна, ускорение a = eU/(md) направлено против начальной поперечной скорости vᵧ = v·sinα. На выходе поперечная скорость должна обратиться в нуль: v·sinα = a·t = eUL/(m d v cosα).
Отсюда U = m v² sinα cosα · d/(eL). Так как W = mv²/2, то U = 2W·sinα·cosα·d/(eL) = W·sin2α·d/(eL).
U = 2,4·10⁻¹⁶ · sin30° · 0,01 / (1,6·10⁻¹⁹ · 0,05) = 1,2·10⁻¹⁸ / 8·10⁻²¹ = 150 В.
Ответ: U = 150 В.
Отсюда U = m v² sinα cosα · d/(eL). Так как W = mv²/2, то U = 2W·sinα·cosα·d/(eL) = W·sin2α·d/(eL).
U = 2,4·10⁻¹⁶ · sin30° · 0,01 / (1,6·10⁻¹⁹ · 0,05) = 1,2·10⁻¹⁸ / 8·10⁻²¹ = 150 В.
Ответ: U = 150 В.
§ 105. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. Конденсаторы, электрическая ёмкость которых 2 мкФ и 10 мкФ, заряжают до напряжения 5 В каждый, а затем «плюс» одного из них подключают к «минусу» другого и соединяют свободные выводы резистором 1000 Ом. Определите количество теплоты, которая выделится в резисторе.
Начальные заряды: q₁ = C₁U = 2·10⁻⁶ · 5 = 10 мкКл, q₂ = C₂U = 10·10⁻⁶ · 5 = 50 мкКл. Так как соединены разноимённые обкладки, заряды вычитаются: суммарный заряд q = q₂ − q₁ = 40 мкКл (закон сохранения заряда). В конце ток прекращается, конденсаторы оказываются соединёнными параллельно с общим напряжением и ёмкостью C = C₁ + C₂ = 12 мкФ.
Энергия до соединения: W₀ = (C₁ + C₂)U²/2 = 12·10⁻⁶ · 25/2 = 150 мкДж.
Энергия после: W = q²/(2C) = (40·10⁻⁶)² / (2 · 12·10⁻⁶) ≈ 66,7 мкДж.
Количество теплоты Q = W₀ − W ≈ 83,3 мкДж. Сопротивление резистора на результат не влияет.
Ответ: Q ≈ 83,3 мкДж.
Энергия до соединения: W₀ = (C₁ + C₂)U²/2 = 12·10⁻⁶ · 25/2 = 150 мкДж.
Энергия после: W = q²/(2C) = (40·10⁻⁶)² / (2 · 12·10⁻⁶) ≈ 66,7 мкДж.
Количество теплоты Q = W₀ − W ≈ 83,3 мкДж. Сопротивление резистора на результат не влияет.
Ответ: Q ≈ 83,3 мкДж.