Глава 14. § 105. Примеры решения задач по теме «Электроёмкость. Энергия заряженного конденсатора» — с. 348
§ 105. Задача для самостоятельного решения 1. Разность потенциалов между обкладками конденсатора ёмкостью 0,1 мкФ изменилась на 175 В. Определите изменение заряда конденсатора.
Ёмкость конденсатора постоянна, а q = CU, поэтому Δq = C·ΔU.
Δq = 0,1·10⁻⁶ Ф · 175 В = 1,75·10⁻⁵ Кл.
Ответ: заряд изменился на 1,75·10⁻⁵ Кл (17,5 мкКл).
Δq = 0,1·10⁻⁶ Ф · 175 В = 1,75·10⁻⁵ Кл.
Ответ: заряд изменился на 1,75·10⁻⁵ Кл (17,5 мкКл).
§ 105. Задача для самостоятельного решения 2. В пространство между пластинами плоского конденсатора влетает электрон со скоростью 2·10⁷ м/с, направленной параллельно пластинам конденсатора. На какое расстояние по направлению к положительно заряженной пластине сместится электрон за время движения внутри конденсатора, если длина конденсатора равна 0,05 м и разность потенциалов между пластинами 200 В?
Расстояние между пластинами конденсатора равно 0,02 м. Отношение модуля заряда электрона к его массе равно 1,76·10¹¹ Кл/кг.
Вдоль пластин электрон движется равномерно, поэтому время пролёта t = L/v. Поперёк пластин на него действует постоянная сила F = eE = eU/d, ускорение a = eU/(md); начальная поперечная скорость равна нулю. Смещение
y = at²/2 = (e/m)·U·L²/(2d·v²).
Подстановка: y = 1,76·10¹¹ · 200 · (0,05)² / (2 · 0,02 · (2·10⁷)²) = 8,8·10¹⁰ / 1,6·10¹³ ≈ 5,5·10⁻³ м.
Смещение 5,5 мм меньше половины расстояния между пластинами (10 мм), так что электрон вылетит из конденсатора, не задев пластину (при влёте посередине). Силой тяжести пренебрегаем.
Ответ: y ≈ 5,5 мм.
y = at²/2 = (e/m)·U·L²/(2d·v²).
Подстановка: y = 1,76·10¹¹ · 200 · (0,05)² / (2 · 0,02 · (2·10⁷)²) = 8,8·10¹⁰ / 1,6·10¹³ ≈ 5,5·10⁻³ м.
Смещение 5,5 мм меньше половины расстояния между пластинами (10 мм), так что электрон вылетит из конденсатора, не задев пластину (при влёте посередине). Силой тяжести пренебрегаем.
Ответ: y ≈ 5,5 мм.
§ 105. Задача для самостоятельного решения 3. Плоский конденсатор зарядили при помощи источника тока напряжением U = 200 В. Затем конденсатор был отключён от этого источника тока. Каким станет напряжение U₁ между пластинами, если расстояние между ними увеличить от первоначального d = 0,2 мм до d₁ = 0,7 мм?
После отключения от источника заряд конденсатора q остаётся постоянным. Ёмкость C = ε₀S/d обратно пропорциональна d, поэтому C₁ = C·d/d₁. Напряжение U₁ = q/C₁ = q·d₁/(C·d) = U·d₁/d.
U₁ = 200 В · 0,7 мм / 0,2 мм = 700 В.
Ответ: U₁ = 700 В.
U₁ = 200 В · 0,7 мм / 0,2 мм = 700 В.
Ответ: U₁ = 700 В.
§ 105. Задача для самостоятельного решения 4. Определите ёмкость воздушного сферического конденсатора. Радиусы сфер R₁ и R₂.
Пусть на внутренней сфере радиусом R₁ находится заряд +q, на внешней радиусом R₂ — заряд −q (R₂ > R₁). Поле между сферами создаёт только внутренняя сфера (поле равномерно заряженной сферы вне её совпадает с полем точечного заряда): E = kq/r², где k = 1/(4πε₀). Поле внешней сферы внутри неё равно нулю. Потенциал сферы радиусом R: внутри сферы он равен потенциалу её поверхности, поэтому разность потенциалов между сферами
U = φ₁ − φ₂ = kq/R₁ − kq/R₂ = kq(R₂ − R₁)/(R₁R₂).
Ёмкость C = q/U = R₁R₂/(k(R₂ − R₁)) = 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁).
Ответ: C = 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁). При R₂ → ∞ получаем ёмкость уединённого шара C = 4πε₀R₁.
U = φ₁ − φ₂ = kq/R₁ − kq/R₂ = kq(R₂ − R₁)/(R₁R₂).
Ёмкость C = q/U = R₁R₂/(k(R₂ − R₁)) = 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁).
Ответ: C = 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁). При R₂ → ∞ получаем ёмкость уединённого шара C = 4πε₀R₁.
§ 105. Задача для самостоятельного решения 5. В плоский воздушный конденсатор вставляется металлическая пластина толщиной d₀. Заряд на обкладках конденсатора q. Конденсатор отключён от источника. Расстояние между пластинами d, площадь пластин S. Определите изменение ёмкости конденсатора и энергии его электрического поля.
Металлическая пластина параллельна обкладкам. В ней поле равно нулю, а во всех остальных частях зазора остаётся прежним, поэтому напряжение между обкладками уменьшается так, как если бы расстояние между ними стало d − d₀ (пластина фактически «вычёркивает» слой толщиной d₀). Значит, C₂ = ε₀S/(d − d₀), а до внесения C₁ = ε₀S/d.
Изменение ёмкости: ΔC = C₂ − C₁ = ε₀S·(1/(d − d₀) − 1/d) = ε₀S·d₀/(d(d − d₀)) > 0.
Конденсатор отключён, заряд q постоянен, W = q²/(2C):
ΔW = q²/(2C₂) − q²/(2C₁) = (q²/(2ε₀S))·((d − d₀) − d) = −q²d₀/(2ε₀S).
Энергия уменьшается (при вдвигании пластины поле совершает положительную работу).
Ответ: ΔC = ε₀S·d₀/(d(d − d₀)) (ёмкость увеличивается); ΔW = −q²d₀/(2ε₀S) (энергия уменьшается).
Изменение ёмкости: ΔC = C₂ − C₁ = ε₀S·(1/(d − d₀) − 1/d) = ε₀S·d₀/(d(d − d₀)) > 0.
Конденсатор отключён, заряд q постоянен, W = q²/(2C):
ΔW = q²/(2C₂) − q²/(2C₁) = (q²/(2ε₀S))·((d − d₀) − d) = −q²d₀/(2ε₀S).
Энергия уменьшается (при вдвигании пластины поле совершает положительную работу).
Ответ: ΔC = ε₀S·d₀/(d(d − d₀)) (ёмкость увеличивается); ΔW = −q²d₀/(2ε₀S) (энергия уменьшается).