Глава 14. § 97. Примеры решения задач по теме «Напряжённость электрического поля. Принцип суперпозиции полей» — с. 321
§ 97. Задача для самостоятельного решения 1. В направленном вертикально вниз однородном электрическом поле напряжённостью 1,3·10⁵ Н/Кл капелька жидкости массой 2·10⁻⁹ г оказалась в равновесии. Определите заряд капельки и число избыточных электронов на ней.
Капелька в равновесии: сила тяжести mg направлена вниз, значит, электрическая сила qE⃗ направлена вверх. Поле направлено вниз, поэтому заряд капельки отрицательный (избыточные электроны). Условие равновесия по модулю: |q|E = mg, откуда |q| = mg/E.
m = 2·10⁻⁹ г = 2·10⁻¹² кг, g = 9,8 м/с².
|q| = 2·10⁻¹² · 9,8 / (1,3·10⁵) ≈ 1,5·10⁻¹⁶ Кл.
Число электронов N = |q|/e = 1,5·10⁻¹⁶ / (1,6·10⁻¹⁹) ≈ 940.
Ответ: q ≈ −1,5·10⁻¹⁶ Кл, N ≈ 940 электронов.
m = 2·10⁻⁹ г = 2·10⁻¹² кг, g = 9,8 м/с².
|q| = 2·10⁻¹² · 9,8 / (1,3·10⁵) ≈ 1,5·10⁻¹⁶ Кл.
Число электронов N = |q|/e = 1,5·10⁻¹⁶ / (1,6·10⁻¹⁹) ≈ 940.
Ответ: q ≈ −1,5·10⁻¹⁶ Кл, N ≈ 940 электронов.
§ 97. Задача для самостоятельного решения 2. Точечный заряд q = 10⁻⁹ Кл окружён сферической оболочкой из диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью ε = 2. Внешний и внутренний радиусы оболочки равны соответственно R₁ = 5 см, а R₂ = 6 см. Определите напряжённость E(r) электрического поля в зависимости от расстояния от заряда и начертите график этой зависимости.
Заряд находится в центре; поле имеет центральную симметрию. Вне диэлектрика поле точечного заряда E = kq/r²; в диэлектрике поле ослаблено в ε раз: E = kq/(εr²). Поляризационные заряды оболочки появляются на её поверхностях, и вне оболочки суммарное поле снова такое же, как у одного заряда q. Здесь kq = 9·10⁹ · 10⁻⁹ = 9 Н·м²/Кл.
При r < R₁ и r > R₂: E = 9/r² (Н/Кл, r в метрах).
При R₁ < r < R₂: E = 9/(2r²) = 4,5/r².
Значения на границах: при r = R₁ = 5 см снаружи слоя E = 9/0,0025 = 3600 Н/Кл, в слое E = 1800 Н/Кл; при r = R₂ = 6 см в слое E = 4,5/0,0036 = 1250 Н/Кл, вне слоя E = 9/0,0036 = 2500 Н/Кл. На границах диэлектрика напряжённость скачком меняется в ε = 2 раза.
Ответ: E = 9/r² при r < R₁ и r > R₂; E = 4,5/r² при R₁ < r < R₂ (r в метрах, E в Н/Кл); график на рисунке.
При r < R₁ и r > R₂: E = 9/r² (Н/Кл, r в метрах).
При R₁ < r < R₂: E = 9/(2r²) = 4,5/r².
Значения на границах: при r = R₁ = 5 см снаружи слоя E = 9/0,0025 = 3600 Н/Кл, в слое E = 1800 Н/Кл; при r = R₂ = 6 см в слое E = 4,5/0,0036 = 1250 Н/Кл, вне слоя E = 9/0,0036 = 2500 Н/Кл. На границах диэлектрика напряжённость скачком меняется в ε = 2 раза.
Ответ: E = 9/r² при r < R₁ и r > R₂; E = 4,5/r² при R₁ < r < R₂ (r в метрах, E в Н/Кл); график на рисунке.
§ 97. Задача для самостоятельного решения 3. Три концентрические сферы радиусами R, 2R и 3R несут равномерно распределённые по их поверхностям заряды q₁ = +2q, q₂ = −q и q₃ = +q соответственно. Известно, что точечный заряд q создаёт на расстоянии R электрическое поле напряжённостью E₁ = 63 Н/Кл. Чему равна напряжённость поля в точке, отстоящей от центра сфер на расстоянии, равном 2,5R?
Точка на расстоянии 2,5R лежит между сферами радиусов 2R и 3R, то есть внутри самой внешней сферы. Поле равномерно заряженной сферы внутри неё равно нулю, поэтому заряд q₃ вклада не даёт. Сферы радиусов R и 2R находятся внутри этой точки, их поля в ней такие же, как у точечных зарядов в центре. Суммарный заряд внутренних сфер q₁ + q₂ = 2q − q = +q.
E = kq/(2,5R)² = (kq/R²)/6,25 = E₁/6,25 = 63/6,25 ≈ 10 Н/Кл.
Поле направлено от центра (заряд положительный).
Ответ: E ≈ 10 Н/Кл.
E = kq/(2,5R)² = (kq/R²)/6,25 = E₁/6,25 = 63/6,25 ≈ 10 Н/Кл.
Поле направлено от центра (заряд положительный).
Ответ: E ≈ 10 Н/Кл.
§ 96. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. Точка В находится в середине отрезка АС. Неподвижные точечные заряды −q и −2q расположены в точках А и С соответственно (см. рис.). Какой заряд надо поместить в точку С взамен заряда −2q, чтобы напряжённость электрического поля в точке В увеличилась в 2 раза?
1) −5q 2) 4q 3) −3q 4) 3q
[рисунок: отрезок AC с шариками на концах: слева A с зарядом −q, справа C с зарядом −2q, точка B посередине]
1) −5q 2) 4q 3) −3q 4) 3q
[рисунок: отрезок AC с шариками на концах: слева A с зарядом −q, справа C с зарядом −2q, точка B посередине]
Пусть AB = BC = d. Выберем направление от A к C положительным. Заряд −q в A притягивает пробный положительный заряд к себе, значит, его поле в точке B направлено к A и равно kq/d² по модулю. Заряд −2q в C притягивает пробный заряд к себе, его поле направлено к C: E₂ = +2kq/d². Результирующая E = 2kq/d² − kq/d² = kq/d² в сторону C.
Нужно получить 2kq/d² (в ту же сторону). Пусть в C стоит заряд −Q (Q > 0): его поле +kQ/d², тогда kQ/d² − kq/d² = 2kq/d², откуда Q = 3q, то есть заряд −3q.
Проверка остальных вариантов: +4q создаёт поле 4kq/d² в сторону от C, то есть к A; вместе с полем −q (kq/d² к A) получается 5kq/d² к A, по модулю в 5 раз больше. Заряд −5q даёт 5kq/d² − kq/d² = 4kq/d², то есть в 4 раза больше. Заряд +3q даёт 3kq/d² к A плюс kq/d² к A, то есть 4kq/d².
Ответ: 3) −3q.
Нужно получить 2kq/d² (в ту же сторону). Пусть в C стоит заряд −Q (Q > 0): его поле +kQ/d², тогда kQ/d² − kq/d² = 2kq/d², откуда Q = 3q, то есть заряд −3q.
Проверка остальных вариантов: +4q создаёт поле 4kq/d² в сторону от C, то есть к A; вместе с полем −q (kq/d² к A) получается 5kq/d² к A, по модулю в 5 раз больше. Заряд −5q даёт 5kq/d² − kq/d² = 4kq/d², то есть в 4 раза больше. Заряд +3q даёт 3kq/d² к A плюс kq/d² к A, то есть 4kq/d².
Ответ: 3) −3q.
§ 96. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. Точечный заряд q, помещённый в начало координат, создаёт в точке А электростатическое поле напряжённостью ЕА = 65 Н/Кл (см. рис.). Чему равна напряжённость ЕВ в точке В?
[рисунок: координатная сетка x, м (0…3) и y, м (0…3); заряд q в начале координат; точка A с координатами (1; 2), точка B с координатами (3; 2)]
[рисунок: координатная сетка x, м (0…3) и y, м (0…3); заряд q в начале координат; точка A с координатами (1; 2), точка B с координатами (3; 2)]
По рисунку A(1 м; 2 м) и B(3 м; 2 м). Квадраты расстояний до заряда: r_A² = 1² + 2² = 5 м², r_B² = 3² + 2² = 13 м². Напряжённость точечного заряда E = kq/r², то есть обратно пропорциональна r².
E_B = E_A · r_A²/r_B² = 65 · 5/13 = 25 Н/Кл.
Ответ: E_B = 25 Н/Кл.
E_B = E_A · r_A²/r_B² = 65 · 5/13 = 25 Н/Кл.
Ответ: E_B = 25 Н/Кл.
§ 96. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. В однородном электрическом поле, вектор напряжённости которого направлен вертикально вверх, висит шарик массой 10 г и зарядом 5 мКл. При выключении поля сила натяжения нити увеличивается в два раза. Определите напряжённость поля.
Шарик заряжен положительно (иначе при выключении поля натяжение бы не увеличилось: сила со стороны поля направлена вверх и уменьшает натяжение). В поле: T₁ + qE = mg, откуда T₁ = mg − qE. Без поля: T₂ = mg. По условию T₂ = 2T₁, значит, mg = 2(mg − qE), откуда qE = mg/2 и E = mg/(2q).
m = 10 г = 0,01 кг, q = 5 мКл = 5·10⁻³ Кл, g = 9,8 м/с².
E = 0,01 · 9,8 / (2 · 5·10⁻³) = 9,8 Н/Кл ≈ 10 Н/Кл.
Ответ: E ≈ 10 Н/Кл (при g = 10 м/с² ровно 10 Н/Кл).
m = 10 г = 0,01 кг, q = 5 мКл = 5·10⁻³ Кл, g = 9,8 м/с².
E = 0,01 · 9,8 / (2 · 5·10⁻³) = 9,8 Н/Кл ≈ 10 Н/Кл.
Ответ: E ≈ 10 Н/Кл (при g = 10 м/с² ровно 10 Н/Кл).