Глава 13. § 86. Примеры решения задач по теме «Первый закон термодинамики» — с. 283
§ 86. Задача для самостоятельного решения 1. Для изобарного нагревания газа, взятого в количестве 800 моль, на 500 К газу сообщили количество теплоты 9,4 · 10⁶ Дж. Определите работу газа и изменение его внутренней энергии.
При изобарном процессе работа газа A' = pΔV = νRΔT = 800 моль · 8,31 Дж/(моль·К) · 500 К ≈ 3,3 · 10⁶ Дж. По первому закону термодинамики Q = ΔU + A', откуда ΔU = Q − A' = 9,4 · 10⁶ − 3,3 · 10⁶ ≈ 6,1 · 10⁶ Дж.
Ответ: A' ≈ 3,3 · 10⁶ Дж; ΔU ≈ 6,1 · 10⁶ Дж.
Ответ: A' ≈ 3,3 · 10⁶ Дж; ΔU ≈ 6,1 · 10⁶ Дж.
§ 86. Задача для самостоятельного решения 2. В цилиндрическом сосуде с площадью основания 250 см² находится азот массой 10 г, сжатый поршнем, на котором лежит гиря массой 12,5 кг. Какую работу совершит азот при нагревании его от 25 до 625 °С. На какую высоту при этом поднимется поршень?
Атмосферное давление равно 1 атм.
Давление под поршнем постоянно: p = p₀ + mg/S = 1,013 · 10⁵ Па + 12,5 кг · 9,8 м/с² / 0,025 м² ≈ 1,013 · 10⁵ + 0,049 · 10⁵ ≈ 1,06 · 10⁵ Па (S = 250 см² = 0,025 м²). Процесс изобарный, ΔT = 600 К. Количество вещества азота ν = m/M = 10 г / 28 г/моль ≈ 0,357 моль. Работа A' = νRΔT = 0,357 · 8,31 · 600 ≈ 1,78 · 10³ Дж. Так как A' = pSΔh, то Δh = A'/(pS) = 1780 / (1,06 · 10⁵ · 0,025) ≈ 0,67 м.
Ответ: A' ≈ 1,8 кДж (1780 Дж); поршень поднимется примерно на 0,67 м.
Ответ: A' ≈ 1,8 кДж (1780 Дж); поршень поднимется примерно на 0,67 м.
§ 86. Задача для самостоятельного решения 3. Идеальный одноатомный газ в количестве 2 моль, находящийся при температуре 0 °С, сначала изохорно перевели в состояние, в котором давление в 2 раза больше первоначального, а затем изобарно в состояние, в котором объём в 2 раза больше первоначального. Определите изменение внутренней энергии газа.
Начальная температура T₁ = 273 К. Изохорный процесс (V = const): p/T = const, давление выросло вдвое, значит T₂ = 2T₁. Изобарный процесс (p = const): V/T = const, объём вырос вдвое, значит T₃ = 2T₂ = 4T₁. Общее изменение температуры ΔT = T₃ − T₁ = 3T₁ = 819 К. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, поэтому ΔU = (3/2)νRΔT = 1,5 · 2 · 8,31 · 819 ≈ 2,0 · 10⁴ Дж.
Ответ: ΔU ≈ 20 кДж (энергия увеличилась).
Ответ: ΔU ≈ 20 кДж (энергия увеличилась).
§ 86. Задача для самостоятельного решения 4. В цилиндре под поршнем находится воздух. На его нагревание при постоянном давлении затрачено количество теплоты, равное 5 кДж. Определите работу, совершённую при этом воздухом. Теплоёмкость воздуха при постоянном давлении c_p = 10³ Дж/(кг · К), молярная масса 29 г/моль.
Изобарный процесс: Q = c_p·mΔT, работа A' = (m/M)RΔT. Делим одно на другое: A'/Q = R/(M·c_p), откуда A' = Q·R/(M·c_p) = 5000 Дж · 8,31 / (0,029 кг/моль · 1000 Дж/(кг·К)) = 5000 · 0,2866 ≈ 1,43 · 10³ Дж.
Ответ: A' ≈ 1,4 кДж (1430 Дж).
Ответ: A' ≈ 1,4 кДж (1430 Дж).
§ 86. Задача для самостоятельного решения 5. Положительна или отрицательна работа газа в процессах 1—2, 2—3 и 3—1 на рисунке 10.9?
Получает газ тепло или отдаёт в этих процессах?
[рисунок 10.9: график в координатах V—T. Точка 1 лежит левее и ниже; прямая 1—2 направлена вверх и вправо (продолжение прямой проходит через начало координат); из точки 2 вертикально вниз идёт отрезок 2—3 (T = const); из точки 3 горизонтально влево идёт отрезок 3—1 (V = const)]
[рисунок 10.9: график в координатах V—T. Точка 1 лежит левее и ниже; прямая 1—2 направлена вверх и вправо (продолжение прямой проходит через начало координат); из точки 2 вертикально вниз идёт отрезок 2—3 (T = const); из точки 3 горизонтально влево идёт отрезок 3—1 (V = const)]
Процесс 1—2: прямая в координатах V—T, проходящая через начало координат, — изобара. Объём и температура растут: A' > 0, ΔU > 0, поэтому Q = ΔU + A' > 0 — газ получает тепло.
Процесс 2—3: T = const (изотерма), объём уменьшается — газ сжимают. Работа газа A' < 0 (работа внешних сил положительна), ΔU = 0, значит Q = A' < 0 — газ отдаёт тепло.
Процесс 3—1: V = const (изохора), работа газа A' = 0. Температура понижается, ΔU < 0, Q = ΔU < 0 — газ отдаёт тепло.
Ответ: A₁₋₂ > 0, A₂₋₃ < 0, A₃₋₁ = 0; тепло газ получает в процессе 1—2 и отдаёт в процессах 2—3 и 3—1.
Процесс 2—3: T = const (изотерма), объём уменьшается — газ сжимают. Работа газа A' < 0 (работа внешних сил положительна), ΔU = 0, значит Q = A' < 0 — газ отдаёт тепло.
Процесс 3—1: V = const (изохора), работа газа A' = 0. Температура понижается, ΔU < 0, Q = ΔU < 0 — газ отдаёт тепло.
Ответ: A₁₋₂ > 0, A₂₋₃ < 0, A₃₋₁ = 0; тепло газ получает в процессе 1—2 и отдаёт в процессах 2—3 и 3—1.
§ 86. Задача для самостоятельного решения 6. Какое количество теплоты необходимо для изохорного нагревания гелия массой 4 кг на 100 К?
При изохорном процессе работа равна нулю, и вся теплота идёт на увеличение внутренней энергии. Гелий — одноатомный газ, M = 0,004 кг/моль, ν = 4 / 0,004 = 1000 моль. Q = ΔU = (3/2)νRΔT = 1,5 · 1000 · 8,31 · 100 ≈ 1,25 · 10⁶ Дж.
Ответ: Q ≈ 1,25 МДж.
Ответ: Q ≈ 1,25 МДж.
§ 86. Задача для самостоятельного решения 7. Вычислите увеличение внутренней энергии водорода массой 2 кг при изобарном его нагревании на 10 К. (Удельная теплоёмкость водорода при постоянном давлении равна 14 кДж/(кг · К).)
Подведённая теплота Q = c_p·mΔT = 14 000 · 2 · 10 = 2,8 · 10⁵ Дж. Работа газа при изобарном нагревании A' = (m/M)RΔT, где M = 0,002 кг/моль: A' = (2/0,002) · 8,31 · 10 = 8,31 · 10⁴ Дж. Увеличение внутренней энергии ΔU = Q − A' = 2,8 · 10⁵ − 0,83 · 10⁵ ≈ 1,97 · 10⁵ Дж.
Ответ: ΔU ≈ 2,0 · 10⁵ Дж.
Ответ: ΔU ≈ 2,0 · 10⁵ Дж.
§ 86. Задача для самостоятельного решения 8. В цилиндре компрессора сжимают идеальный одноатомный газ, количество вещества которого 4 моль. Определите, насколько поднялась температура газа за один ход поршня, если при этом была совершена работа 500 Дж. Процесс считайте адиабатным.
При адиабатном процессе Q = 0, поэтому ΔU = A, где A = 500 Дж — работа внешних сил над газом. Для одноатомного газа ΔU = (3/2)νRΔT, отсюда ΔT = 2A/(3νR) = 2 · 500 / (3 · 4 · 8,31) ≈ 10 К.
Ответ: температура газа повысилась примерно на 10 К.
Ответ: температура газа повысилась примерно на 10 К.
§ 86. Задача для самостоятельного решения 9. На одинаковые газовые горелки поставили два одинаковых плотно закупоренных сосуда вместимостью по 1 л. В одном сосуде находится вода, а в другом — воздух. Какой сосуд быстрее нагревается на 50 °С?
Почему?
Горелки одинаковы, значит, за одно время сосуды получают одинаковое количество теплоты. Время нагревания пропорционально количеству теплоты Q = cmΔT, которое надо сообщить содержимому (теплоёмкостью сосудов пренебрегаем, они одинаковые). Для воды m = 1 кг, c = 4200 Дж/(кг·К): Q ≈ 4200 · 1 · 50 = 2,1 · 10⁵ Дж. Для воздуха при V = const (сосуд закупорен) масса m ≈ 1,2 · 10⁻³ кг, c_V ≈ 720 Дж/(кг·К): Q ≈ 720 · 1,2 · 10⁻³ · 50 ≈ 43 Дж, то есть в тысячи раз меньше.
Ответ: быстрее нагреется сосуд с воздухом: масса и теплоёмкость воздуха в литре во много раз меньше, чем у воды, поэтому для его нагревания на 50 °С нужно гораздо меньше теплоты.
Ответ: быстрее нагреется сосуд с воздухом: масса и теплоёмкость воздуха в литре во много раз меньше, чем у воды, поэтому для его нагревания на 50 °С нужно гораздо меньше теплоты.
§ 86. Задача для самостоятельного решения 10. Предложен следующий проект вечного двигателя (рис. 13.10). Закрытый сосуд разделён на две половинки герметичной перегородкой, сквозь которую пропущены трубка и водяная турбина в кожухе с двумя отверстиями. Давление воздуха в нижней части больше, чем в верхней. Вода поднимается по трубке и наполняет открытую камеру. В нижней части очередная порция воды выливается из камеры турбины, подошедшей к отверстию кожуха. Почему данная машина не будет работать вечно?
[рисунок 13.10: схема сосуда с перегородкой, трубкой и водяным колесом (турбиной) в кожухе]
[рисунок 13.10: схема сосуда с перегородкой, трубкой и водяным колесом (турбиной) в кожухе]
Машина должна была бы непрерывно совершать работу, не получая энергии извне, то есть это вечный двигатель первого рода. Он противоречит закону сохранения энергии (первому закону термодинамики): A' = Q − ΔU, а при замкнутой системе без подвода теплоты полезной работы получить нельзя. Конкретно: вода поднимается по трубке лишь за счёт перепада давления, который создаётся и поддерживается только пока он есть; работа, которую вода совершает, падая и вращая турбину, не может превысить работу, затраченную на её подъём (в лучшем случае равна ей), а из-за трения, вязкости воды и утечек воздуха сквозь отверстия кожуха перепад давления выравнивается, и вода перестаёт подниматься.
Ответ: машина остановится, так как вечный двигатель, совершающий работу без источника энергии, невозможен по закону сохранения энергии; потери на трение и утечки быстро остановят её.
Ответ: машина остановится, так как вечный двигатель, совершающий работу без источника энергии, невозможен по закону сохранения энергии; потери на трение и утечки быстро остановят её.
§ 86. Задача для самостоятельного решения 11. В вакууме закреплён горизонтальный цилиндр, в котором слева находится гелий в количестве 0,1 моль, запертый поршнем. Поршень массой 90 г удерживается упорами и может скользить влево вдоль стенок цилиндра без трения. В поршень попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 400 м/с, и застревает в нём. Как изменится температура гелия в момент остановки поршня в крайнем левом положении?
Считайте, что газ не успевает обменяться теплом с поршнем и цилиндром.
Удар неупругий, по закону сохранения импульса mv = (m + M)u, откуда u = 0,01 · 400 / 0,1 = 40 м/с. Кинетическая энергия поршня с пулей E = (m + M)u²/2 = 0,1 · 1600 / 2 = 80 Дж. Справа вакуум, трения нет, теплообмена нет, поэтому до остановки поршня вся эта энергия идёт на сжатие газа (адиабатный процесс): ΔU = 80 Дж = (3/2)νRΔT. Отсюда ΔT = 2 · 80 / (3 · 0,1 · 8,31) ≈ 64 К.
Ответ: температура гелия увеличится примерно на 64 К.
Ответ: температура гелия увеличится примерно на 64 К.