Глава 13. § 83. Примеры решения задач по теме «Уравнение теплового баланса» — с. 275
§ 83. Задача для самостоятельного решения 4. Свинцовая пуля массой 0,01 кг, летящая горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в неподвижный стальной кубик массой 90 г, лежащий на гладком горизонтальном столе. Чему будет равна температура обоих тел после удара?
Удар считайте абсолютно неупругим, температура пули в момент удара 30 °C, кубика — 20 °C. Потерями тепла можно пренебречь. Удельная теплоёмкость свинца 126 Дж/(кг·К), стали — 460 Дж/(кг·К).
Закон сохранения импульса: m₁v₀ = (m₁ + m₂)u, u = 0,01 · 500/0,1 = 50 м/с.
Потеря механической энергии идёт на нагревание: ΔE = m₁v₀²/2 − (m₁ + m₂)u²/2 = 1250 − 125 = 1125 Дж.
Уравнение теплового баланса (общая конечная температура t): ΔE = c₁m₁(t − 30) + c₂m₂(t − 20), где c₁m₁ = 1,26 Дж/К, c₂m₂ = 41,4 Дж/К.
1125 = 1,26(t − 30) + 41,4(t − 20) = 42,66t − 37,8 − 828; t = (1125 + 865,8)/42,66 ≈ 46,7 °C.
Ответ: t ≈ 47 °C.
Оговорка: в ответах учебника 46,5 °C; точный расчёт даёт 46,7 °C.
Потеря механической энергии идёт на нагревание: ΔE = m₁v₀²/2 − (m₁ + m₂)u²/2 = 1250 − 125 = 1125 Дж.
Уравнение теплового баланса (общая конечная температура t): ΔE = c₁m₁(t − 30) + c₂m₂(t − 20), где c₁m₁ = 1,26 Дж/К, c₂m₂ = 41,4 Дж/К.
1125 = 1,26(t − 30) + 41,4(t − 20) = 42,66t − 37,8 − 828; t = (1125 + 865,8)/42,66 ≈ 46,7 °C.
Ответ: t ≈ 47 °C.
Оговорка: в ответах учебника 46,5 °C; точный расчёт даёт 46,7 °C.
§ 83. Задача для самостоятельного решения 5. Пар массой 1 кг при 100 °C выпускают в холодную воду массой 12 кг. Температура воды после конденсации в ней пара поднялась до 70 °C. Чему была равна первоначальная температура воды?
Удельная теплота парообразования воды 22,6·10⁵ Дж/кг, удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/(кг·К).
Пар конденсируется (отдаёт rm₁) и образовавшаяся вода остывает от 100 до 70 °C (отдаёт cm₁(100 − 70)). Холодная вода нагревается от t₀ до 70 °C (получает cm₂(70 − t₀)).
rm₁ + cm₁(100 − 70) = cm₂(70 − t₀).
2,26·10⁶ + 4200 · 1 · 30 = 4200 · 12 · (70 − t₀); 2,386·10⁶ = 50 400 (70 − t₀); 70 − t₀ ≈ 47,3 °C.
t₀ ≈ 22,7 °C.
Ответ: t₀ ≈ 23 °C.
Оговорка: в ответах учебника 22 °C; расчёт по заданным данным даёт ≈ 22,7 °C.
rm₁ + cm₁(100 − 70) = cm₂(70 − t₀).
2,26·10⁶ + 4200 · 1 · 30 = 4200 · 12 · (70 − t₀); 2,386·10⁶ = 50 400 (70 − t₀); 70 − t₀ ≈ 47,3 °C.
t₀ ≈ 22,7 °C.
Ответ: t₀ ≈ 23 °C.
Оговорка: в ответах учебника 22 °C; расчёт по заданным данным даёт ≈ 22,7 °C.
§ 83. Задача для самостоятельного решения 6. С помощью механического молота массой 600 кг обрабатывается железная поковка массой 205 кг. За 35 ударов поковка нагрелась от 10 до 18 °C. Чему равна скорость молота в момент удара?
Считайте, что на нагревание поковки затрачивается 70 % энергии молота. Удельная теплоёмкость железа 460 Дж/(кг·К).
Энергия одного удара — кинетическая энергия молота mv²/2. За 35 ударов на нагревание идёт 0,7 · 35 · mv²/2 = cMΔt.
Правая часть: 460 · 205 · 8 = 7,544·10⁵ Дж.
v² = 2cMΔt/(0,7 · 35 · m) = 2 · 7,544·10⁵ / (0,7 · 35 · 600) = 1,5088·10⁶/1,47·10⁴ ≈ 102,6 м²/с².
v ≈ 10,1 м/с.
Ответ: v ≈ 10 м/с.
Правая часть: 460 · 205 · 8 = 7,544·10⁵ Дж.
v² = 2cMΔt/(0,7 · 35 · m) = 2 · 7,544·10⁵ / (0,7 · 35 · 600) = 1,5088·10⁶/1,47·10⁴ ≈ 102,6 м²/с².
v ≈ 10,1 м/с.
Ответ: v ≈ 10 м/с.
§ 83. Задача для самостоятельного решения 7. В калориметре находится вода массой 0,4 кг при температуре 10 °C. В воду положили лёд массой 0,6 кг при температуре −40 °C. Какая температура установится в калориметре, если его теплоёмкость ничтожно мала?
Используем c воды 4200, c льда 2100 Дж/(кг·К), λ = 3,3·10⁵ Дж/кг. Оценим тепловые возможности.
Чтобы нагреть лёд до 0 °C: Q₁ = 2100 · 0,6 · 40 = 5,04·10⁴ Дж.
Вода при остывании до 0 °C отдаёт: Q₂ = 4200 · 0,4 · 10 = 1,68·10⁴ Дж < Q₁, значит, лёд до 0 °C только за счёт остывания воды не нагреется.
При полной кристаллизации воды выделилось бы ещё λm = 3,3·10⁵ · 0,4 = 1,32·10⁵ Дж. Всего возможно 1,488·10⁵ Дж > Q₁. Следовательно, лёд нагреется до 0 °C, при этом часть воды замёрзнет (замерзает (5,04·10⁴ − 1,68·10⁴)/3,3·10⁵ ≈ 0,1 кг), и в калориметре останутся лёд и вода при 0 °C.
Ответ: t = 0 °C.
Чтобы нагреть лёд до 0 °C: Q₁ = 2100 · 0,6 · 40 = 5,04·10⁴ Дж.
Вода при остывании до 0 °C отдаёт: Q₂ = 4200 · 0,4 · 10 = 1,68·10⁴ Дж < Q₁, значит, лёд до 0 °C только за счёт остывания воды не нагреется.
При полной кристаллизации воды выделилось бы ещё λm = 3,3·10⁵ · 0,4 = 1,32·10⁵ Дж. Всего возможно 1,488·10⁵ Дж > Q₁. Следовательно, лёд нагреется до 0 °C, при этом часть воды замёрзнет (замерзает (5,04·10⁴ − 1,68·10⁴)/3,3·10⁵ ≈ 0,1 кг), и в калориметре останутся лёд и вода при 0 °C.
Ответ: t = 0 °C.
§ 83. Задача для самостоятельного решения 8. Водород, взятый в количестве 1 моль, первоначально имевший температуру 0 °C, нагревается при постоянном давлении. Какое количество теплоты необходимо сообщить водороду, чтобы его объём удвоился?
При p = const V/T = const, поэтому при удвоении объёма абсолютная температура удваивается: T₁ = 273 К, T₂ = 546 К, ΔT = 273 К.
Водород — двухатомный газ (i = 5): ΔU = (5/2)νRΔT, A′ = νRΔT. Q = ΔU + A′ = (7/2)νRΔT = 3,5 · 1 · 8,31 · 273 ≈ 7940 Дж.
Ответ: Q ≈ 7,9 кДж.
Водород — двухатомный газ (i = 5): ΔU = (5/2)νRΔT, A′ = νRΔT. Q = ΔU + A′ = (7/2)νRΔT = 3,5 · 1 · 8,31 · 273 ≈ 7940 Дж.
Ответ: Q ≈ 7,9 кДж.
§ 83. Задача для самостоятельного решения 9. Водород, объём которого 1 м³, находится при 0 °C в цилиндрическом сосуде, закрытом сверху легко скользящим поршнем массой 1 т и площадью поперечного сечения 0,5 м². Атмосферное давление 97,3 кПа. Какое количество теплоты потребуется на нагревание водорода до 300 °C?
Определите изменение его внутренней энергии.
Давление под поршнем постоянно: p = p₀ + mg/S = 97 300 + 1000 · 9,8/0,5 = 97 300 + 19 600 = 116 900 Па. Нагревание изобарное: T₁ = 273 К, T₂ = 573 К, ΔT = 300 К.
Число молей ν = pV/(RT₁) = 116 900 · 1/(8,31 · 273) ≈ 51,5 моль.
Изменение внутренней энергии двухатомного газа (i = 5): ΔU = (5/2)νRΔT = (5/2)·pV·ΔT/T₁ = 2,5 · 116 900 · 300/273 ≈ 3,2·10⁵ Дж.
Работа газа A′ = νRΔT = pVΔT/T₁ ≈ 1,28·10⁵ Дж.
Q = ΔU + A′ = (7/2)pVΔT/T₁ ≈ 4,5·10⁵ Дж.
Ответ: Q ≈ 4,5·10⁵ Дж, ΔU ≈ 3,2·10⁵ Дж.
Оговорка: в ответах учебника Q = 4,48·10⁵ Дж; расхождение связано с округлением g и R.
Число молей ν = pV/(RT₁) = 116 900 · 1/(8,31 · 273) ≈ 51,5 моль.
Изменение внутренней энергии двухатомного газа (i = 5): ΔU = (5/2)νRΔT = (5/2)·pV·ΔT/T₁ = 2,5 · 116 900 · 300/273 ≈ 3,2·10⁵ Дж.
Работа газа A′ = νRΔT = pVΔT/T₁ ≈ 1,28·10⁵ Дж.
Q = ΔU + A′ = (7/2)pVΔT/T₁ ≈ 4,5·10⁵ Дж.
Ответ: Q ≈ 4,5·10⁵ Дж, ΔU ≈ 3,2·10⁵ Дж.
Оговорка: в ответах учебника Q = 4,48·10⁵ Дж; расхождение связано с округлением g и R.
§ 83. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. Воду массой 100 г при температуре 12 °C поместили в калориметр, где находился лёд при температуре −5 °C. После установления теплового равновесия температура льда повысилась до 0 °C, но масса льда не изменилась. Пренебрегая потерями тепла, оцените, чему была равна начальная масса льда в калориметре. Удельная теплоёмкость льда равна 2100 Дж/(кг·К), удельная теплоёмкость воды равна 4200 Дж/(кг·К).
Масса льда не изменилась, значит, вода остыла до 0 °C, но не замёрзла, а лёд нагрелся от −5 до 0 °C. Вода отдала Q = c_в m_в · 12 = 4200 · 0,1 · 12 = 5040 Дж. Лёд получил Q = c_л m_л · 5 = 2100 · m_л · 5 = 10 500 m_л.
10 500 m_л = 5040, m_л = 0,48 кг.
Ответ: 0,48 кг.
10 500 m_л = 5040, m_л = 0,48 кг.
Ответ: 0,48 кг.
§ 83. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. Для охлаждения лимонада массой 200 г в него бросают кубики льда при 0 °C. Масса каждого кубика 8 г. Первоначальная температура лимонада 30 °C. Сколько целых кубиков надо бросить в лимонад, чтобы установилась температура 15 °C?
Тепловые потери не учитывайте. Удельная теплоёмкость лимонада такая же, как у воды. Удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/(кг·К), удельная теплота плавления льда 330 кДж/кг.
Лимонад отдаёт Q₁ = c m (30 − 15) = 4200 · 0,2 · 15 = 12 600 Дж. Каждый кубик плавится (λm₀ = 3,3·10⁵ · 0,008 = 2640 Дж) и образовавшаяся вода нагревается от 0 до 15 °C (cm₀ · 15 = 4200 · 0,008 · 15 = 504 Дж): всего 3144 Дж на кубик.
Число кубиков n = 12 600/3144 ≈ 4,007 ≈ 4.
Ответ: 4 кубика.
Оговорка: строго 4 кубика дадут температуру чуть выше 15 °C (около 15,03 °C), разница пренебрежимо мала; ответ учебника 4.
Число кубиков n = 12 600/3144 ≈ 4,007 ≈ 4.
Ответ: 4 кубика.
Оговорка: строго 4 кубика дадут температуру чуть выше 15 °C (около 15,03 °C), разница пренебрежимо мала; ответ учебника 4.
§ 83. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. В сосуд с водой опущена трубка. По трубке через воду пропускают пар при температуре 100 °C. Вначале масса воды увеличивается, но в некоторый момент, масса воды перестаёт увеличиваться, хотя пар по-прежнему пропускают. Первоначальная масса воды 230 г, а её первоначальная температура 0 °C. На сколько увеличилась масса воды?
Удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/(кг·К), удельная теплота парообразования воды 2300 кДж/кг.
Масса воды перестаёт расти, когда вода нагрелась до 100 °C: дальше пар не конденсируется. Вода получила Q = c m (100 − 0) = 4200 · 0,23 · 100 = 96 600 Дж. Эту энергию выделил пар при конденсации (образовавшаяся вода остаётся при 100 °C): Q = rΔm.
Δm = 96 600/2,3·10⁶ = 0,042 кг.
Ответ: масса воды увеличилась на 0,042 кг (42 г).
Δm = 96 600/2,3·10⁶ = 0,042 кг.
Ответ: масса воды увеличилась на 0,042 кг (42 г).
§ 83. Образец заданий ЕГЭ, задание 4. При какой скорости пуля из свинца полностью расплавится при ударе о стенку, если 80 % её энергии будет затрачено на нагревание пули?
Начальная температура пули 27 °C, температура плавления свинца 327 °C, удельная теплоёмкость 130 Дж/(кг·К), удельная теплота плавления 25 кДж/кг.
На нагревание до температуры плавления и плавление идёт 80 % кинетической энергии: 0,8 · mv²/2 = cm(327 − 27) + λm. Масса m сокращается.
v² = 2[c · 300 + λ]/0,8 = 2(130 · 300 + 25 000)/0,8 = 2 · 64 000/0,8 = 1,6·10⁵ м²/с².
v = 400 м/с.
Ответ: v = 400 м/с.
v² = 2[c · 300 + λ]/0,8 = 2(130 · 300 + 25 000)/0,8 = 2 · 64 000/0,8 = 1,6·10⁵ м²/с².
v = 400 м/с.
Ответ: v = 400 м/с.