Глава 13. § 81. Примеры решения задач по теме «Внутренняя энергия. Работа» — с. 269
§ 81. Задача для самостоятельного решения 1. Как изменится внутренняя энергия одноатомного идеального газа, если его давление увеличится в 3 раза, а объём уменьшится в 2 раза?
Внутренняя энергия одноатомного идеального газа U = (3/2)(m/M)RT = (3/2)pV. Масса газа считается неизменной. Тогда U₂/U₁ = (p₂V₂)/(p₁V₁) = 3 · (1/2) = 1,5.
Ответ: внутренняя энергия увеличится в 1,5 раза (на 50 %).
Ответ: внутренняя энергия увеличится в 1,5 раза (на 50 %).
§ 81. Задача для самостоятельного решения 2. Стержень отбойного молотка приводится в движение сжатым воздухом. Масса воздуха в цилиндре за время хода поршня меняется от 0,1 до 0,5 г. Считая давление воздуха в цилиндре и температуру (27 °C) постоянными, определите работу газа за один ход поршня (Mвозд = 0,029 кг/моль).
При p = const и T = const работа газа A′ = p(V₂ − V₁). Из уравнения Менделеева — Клапейрона pV = (m/M)RT, значит pV₂ − pV₁ = ((m₂ − m₁)/M)RT, и A′ = ((m₂ − m₁)/M)RT.
m₂ − m₁ = 0,5 г − 0,1 г = 0,4 г = 4·10⁻⁴ кг; T = 27 + 273 = 300 К.
A′ = (4·10⁻⁴ / 0,029) · 8,31 · 300 ≈ 1,38·10⁻² · 2493 ≈ 34 Дж.
Ответ: A′ ≈ 34 Дж.
m₂ − m₁ = 0,5 г − 0,1 г = 0,4 г = 4·10⁻⁴ кг; T = 27 + 273 = 300 К.
A′ = (4·10⁻⁴ / 0,029) · 8,31 · 300 ≈ 1,38·10⁻² · 2493 ≈ 34 Дж.
Ответ: A′ ≈ 34 Дж.
§ 81. Задача для самостоятельного решения 3. При изобарном расширении одноатомного газа, взятого в количестве 4 моль, его температура увеличилась на 100 °C. Определите изменение внутренней энергии и работу, совершённую силой давления газа.
Изменение температуры ΔT = 100 К (изменение на 100 °C равно изменению на 100 К).
Изменение внутренней энергии одноатомного газа: ΔU = (3/2)νRΔT = 1,5 · 4 моль · 8,31 Дж/(моль·К) · 100 К ≈ 4986 Дж ≈ 5,0 кДж.
При p = const работа газа A′ = pΔV = νRΔT = 4 · 8,31 · 100 ≈ 3324 Дж ≈ 3,3 кДж.
Ответ: ΔU ≈ 5,0 кДж, A′ ≈ 3,3 кДж.
Изменение внутренней энергии одноатомного газа: ΔU = (3/2)νRΔT = 1,5 · 4 моль · 8,31 Дж/(моль·К) · 100 К ≈ 4986 Дж ≈ 5,0 кДж.
При p = const работа газа A′ = pΔV = νRΔT = 4 · 8,31 · 100 ≈ 3324 Дж ≈ 3,3 кДж.
Ответ: ΔU ≈ 5,0 кДж, A′ ≈ 3,3 кДж.
§ 81. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. Объём идеального одноатомного газа, масса которого постоянна, увеличился при постоянном давлении 500 кПа на 0,03 м³. На сколько увеличилась внутренняя энергия газа?
Для одноатомного идеального газа U = (3/2)νRT = (3/2)pV. При p = const ΔU = (3/2)pΔV = 1,5 · 5·10⁵ Па · 0,03 м³ = 2,25·10⁴ Дж.
Ответ: 22,5 кДж.
Ответ: 22,5 кДж.
§ 81. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. Идеальный одноатомный газ находится в сосуде с жёсткими стенками объёмом 0,5 м³. При нагревании его давление возросло на 4 кПа. На сколько увеличилась внутренняя энергия газа?
Стенки жёсткие, V = const = 0,5 м³. U = (3/2)pV, поэтому ΔU = (3/2)VΔp = 1,5 · 0,5 м³ · 4·10³ Па = 3000 Дж.
Ответ: 3000 Дж.
Ответ: 3000 Дж.
§ 81. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. Во время опыта объём воздуха в цилиндре, закрытом подвижным поршнем, и его абсолютную температуру увеличили в 2 раза. Оказалось, однако, что воздух мог просачиваться сквозь зазор вокруг поршня, и за время опыта его давление в цилиндре не изменилось. Во сколько раз изменилась внутренняя энергия воздуха в цилиндре?
(Воздух считайте идеальным газом.)
Из уравнения состояния pV = νRT число молей ν = pV/(RT). Давление постоянно, а V и T выросли вдвое, поэтому V/T не изменилось, и ν осталось прежним. Внутренняя энергия U ∝ νT, значит U₂/U₁ = T₂/T₁ = 2 (то же получаем из U ∝ pV: объём вырос вдвое при p = const).
Ответ: внутренняя энергия увеличилась в 2 раза.
Ответ: внутренняя энергия увеличилась в 2 раза.
§ 81. Образец заданий ЕГЭ, задание 4. В сосуде с небольшой трещиной находится газ, который может просачиваться сквозь трещину. Во время опыта давление газа уменьшилось в 8 раз, а его абсолютная температура уменьшилась в 4 раза при неизменном объёме. Во сколько раз изменилась внутренняя энергия газа в сосуде?
(Газ считайте идеальным.)
Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна произведению pV (U = kpV, где k определяется числом степеней свободы). Объём не менялся, давление уменьшилось в 8 раз, поэтому U₂/U₁ = p₂/p₁ = 1/8. (Число молей также изменилось: ν ∝ p/T, оно уменьшилось в 2 раза, а T уменьшилась в 4 раза, итого в 2·4 = 8 раз.)
Ответ: внутренняя энергия уменьшилась в 8 раз.
Ответ: внутренняя энергия уменьшилась в 8 раз.
§ 81. Образец заданий ЕГЭ, задание 5. В координатах p, T показан цикл тепловой машины, у которой рабочим телом является идеальный газ. На каком участке цикла работа газа наибольшая по модулю?
[рисунок: диаграмма p–T с клетчатой сеткой; цикл 1–2–3–4: участок 1–2 горизонтальный (p = const, T возрастает от T₁ до 3T₁, p = 4 клетки), участок 2–3 вертикальный вниз (T = const = 3T₁, p уменьшается с 4 до 1 клетки), участок 3–4 горизонтальный влево (p = 1 клетка, T убывает от 3T₁ до T₁), участок 4–1 вертикальный вверх (T = const = T₁, p растёт с 1 до 4 клеток)]
[рисунок: диаграмма p–T с клетчатой сеткой; цикл 1–2–3–4: участок 1–2 горизонтальный (p = const, T возрастает от T₁ до 3T₁, p = 4 клетки), участок 2–3 вертикальный вниз (T = const = 3T₁, p уменьшается с 4 до 1 клетки), участок 3–4 горизонтальный влево (p = 1 клетка, T убывает от 3T₁ до T₁), участок 4–1 вертикальный вверх (T = const = T₁, p растёт с 1 до 4 клеток)]
Горизонтальные участки в p–T — изобары, вертикальные — изотермы. Принимаем клетку p за p₀, клетку T за T₀ (T₁ = T₀, T₂ = 3T₀, p₁ = p₂ = 4p₀, p₃ = p₄ = p₀). Объём V ∝ T/p: V₁ = 0,25V₀, V₂ = 0,75V₀, V₃ = 3V₀, V₄ = V₀ (V₀ = νR T₀/p₀).
Участок 1–2 (изобара): A = p(V₂ − V₁) = 4p₀ · 0,5V₀ = 2p₀V₀.
Участок 2–3 (изотерма): A = νR·3T₀ · ln(V₃/V₂) = 3p₀V₀ ln 4 ≈ 4,2p₀V₀.
Участок 3–4 (изобара): A = p₀(V₄ − V₃) = −2p₀V₀, модуль 2p₀V₀.
Участок 4–1 (изотерма): A = νRT₀ ln(V₁/V₄) = p₀V₀ ln 0,25 ≈ −1,4p₀V₀, модуль 1,4p₀V₀.
Ответ: наибольшая по модулю работа газа на участке 2–3 (расширение при T = const, изотерма).
Участок 1–2 (изобара): A = p(V₂ − V₁) = 4p₀ · 0,5V₀ = 2p₀V₀.
Участок 2–3 (изотерма): A = νR·3T₀ · ln(V₃/V₂) = 3p₀V₀ ln 4 ≈ 4,2p₀V₀.
Участок 3–4 (изобара): A = p₀(V₄ − V₃) = −2p₀V₀, модуль 2p₀V₀.
Участок 4–1 (изотерма): A = νRT₀ ln(V₁/V₄) = p₀V₀ ln 0,25 ≈ −1,4p₀V₀, модуль 1,4p₀V₀.
Ответ: наибольшая по модулю работа газа на участке 2–3 (расширение при T = const, изотерма).