Глава 1. § 2. Способы описания движения — с. 17
§ 2. Вопрос 1. Какими способами можно задать положение точки?
Положение точки относительно выбранного тела отсчёта можно задать двумя способами. Координатный способ: указывают координаты точки (x, y, z) в выбранной системе координат. Векторный способ: указывают радиус-вектор r⃗ — направленный отрезок из начала координат в данную точку. Оба способа равноценны: проекции радиус-вектора равны координатам точки.
§ 2. Вопрос 2. Как задают положение точки в пространстве с помощью координат?
Выбирают систему координат (например, декартову с осями OX, OY, OZ) с началом в теле отсчёта. Положение точки в пространстве определяют тремя числами — координатами x, y, z. При движении они меняются со временем, то есть являются функциями времени: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Это кинематические уравнения движения в координатной форме. Если точка движется по прямой, достаточно одной координаты x(t), по плоскости — двух: x(t) и y(t).
§ 2. Вопрос 3. Что называется радиус-вектором?
Радиус-вектором называется направленный отрезок (вектор), проведённый из начала координат в данную точку. Он определяет положение точки: его проекции на оси координат равны координатам точки. При движении точки радиус-вектор поворачивается и меняет длину, то есть зависит от времени: r⃗ = r⃗(t). Это уравнение движения точки в векторной форме; оно равносильно трём скалярным уравнениям x(t), y(t), z(t).
§ 2. Вопрос 4. Что называется проекцией вектора на ось?
Проекцией вектора a⃗ на ось называется длина отрезка A₁B₁ между проекциями начала и конца вектора на эту ось (точки A₁ и B₁ получают, опуская перпендикуляры из начала и конца вектора на ось), взятая со знаком «+» или «−»: aₓ = ±|A₁B₁|. Знак «+», если от проекции начала к проекции конца надо идти по направлению оси, иначе «−». Проекция — алгебраическая величина, измеряется в тех же единицах, что и модуль вектора; aₓ = a·cos φ, где φ — угол между вектором и осью.
§ 2. Вопрос 5. Чему равна проекция вектора на ось, если вектор направлен так же, как и ось проекции?
Угол между вектором и осью φ = 0, cos 0 = 1, поэтому проекция положительна и равна модулю вектора: aₓ = +|a⃗| = a.
§ 2. Вопрос 6. Чему равна проекция вектора на ось, если вектор направлен противоположно оси проекции?
Угол между вектором и осью φ = 180°, cos 180° = −1, поэтому проекция отрицательна и равна модулю вектора со знаком «−»: aₓ = −|a⃗| = −a.
§ 2. Вопрос 7. Чему равна проекция вектора на перпендикулярную к нему ось?
Угол между вектором и осью φ = 90°, cos 90° = 0. Перпендикуляры из начала и конца вектора попадают в одну точку оси, поэтому проекция равна нулю: aₓ = 0.
§ 2. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. Точка движется в плоскости XOY. Вектор r⃗, модуль которого равен 1 м, направлен под углом 30° к оси X. Чему равны проекции вектора r⃗ на оси X и Y?
1) 0,5; 0,87
2) 0,5; 0
3) 0,87; 0,5
4) 0,87; 0
1) 0,5; 0,87
2) 0,5; 0
3) 0,87; 0,5
4) 0,87; 0
Проекция на ось X: rₓ = r·cos 30° = 1 м · 0,866 ≈ 0,87 м. Проекция на ось Y: r_y = r·sin 30° = 1 м · 0,5 = 0,5 м.
Ответ: 3) 0,87; 0,5 (м).
Ответ: 3) 0,87; 0,5 (м).
§ 2. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. Точка движется в плоскости XOY. Вектор r⃗, модуль которого равен 2 м, направлен под углом 135° к оси X. Чему равны проекции вектора r⃗ на оси X и Y?
1) 1,41; 1,41
2) 0,71; 0
3) −1,41; −0,71
4) −1,41; 1,41 м
1) 1,41; 1,41
2) 0,71; 0
3) −1,41; −0,71
4) −1,41; 1,41 м
rₓ = r·cos 135° = 2 м · (−0,707) ≈ −1,41 м. r_y = r·sin 135° = 2 м · 0,707 ≈ 1,41 м. Вектор направлен во вторую четверть: проекция на X отрицательна, на Y положительна.
Ответ: 4) −1,41; 1,41 м.
Ответ: 4) −1,41; 1,41 м.
§ 2. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. Начальное положение точки r⃗(3; 0). Чему равен модуль вектора, определяющего новое положение точки, если изменение координаты y равно 4?
1) 7 м
2) 5 м
3) 4 м
4) 1 м
1) 7 м
2) 5 м
3) 4 м
4) 1 м
Новые координаты точки: x = 3 м, y = 0 + 4 м = 4 м. Модуль радиус-вектора r = √(x² + y²) = √(3² + 4²) = √25 = 5 м.
Ответ: 2) 5 м.
Ответ: 2) 5 м.
§ 2. Образец заданий ЕГЭ, задание 4. Начальное положение точки r⃗₀(4; 0; 0). Через промежуток времени t положение точки r⃗(4; 0; 3). Кинематические уравнения движения имеют вид
1) x = 4 м, y = 0, z = 5 м
2) x = 4 м, y = y(t), z = 3 м
3) x = 4 м, y = 0, z = 3 м
4) x = 4 м, y = 0, z = z(t)
1) x = 4 м, y = 0, z = 5 м
2) x = 4 м, y = y(t), z = 3 м
3) x = 4 м, y = 0, z = 3 м
4) x = 4 м, y = 0, z = z(t)
Координаты x и y точки не изменились: x = 4 м, y = 0. Координата z изменилась от 0 до 3 м; в уравнении, описывающем положение точки в момент t, z = 3 м. Вариант 1) неверен (z = 5 м), в варианте 2) y не равно нулю, в варианте 4) z задана как функция времени без числового значения.
Ответ: 3) x = 4 м, y = 0, z = 3 м.
Ответ: 3) x = 4 м, y = 0, z = 3 м.
§ 2. Образец заданий ЕГЭ, задание 5. Точка движется по прямой в плоскости XOY. Начальное положение точки r⃗₀(3; 0), конечное r⃗₀(0; 3). Угол φ к оси OX, под которым двигалась точка, равен
1) 0°
2) 45°
3) 135°
4) 90°
1) 0°
2) 45°
3) 135°
4) 90°
Перемещение Δr⃗ имеет проекции Δx = 0 − 3 = −3 м, Δy = 3 − 0 = 3 м. Тогда tg φ = Δy/Δx = −1, причём вектор направлен во вторую четверть (Δx < 0, Δy > 0), значит φ = 180° − 45° = 135°.
Ответ: 3) 135°.
Оговорка: в условии конечное положение обозначено r⃗₀(0; 3) — это опечатка книги, имеется в виду r⃗(0; 3).
Ответ: 3) 135°.
Оговорка: в условии конечное положение обозначено r⃗₀(0; 3) — это опечатка книги, имеется в виду r⃗(0; 3).