Глава XIV. §3. Симметрии фигур — с. 327
1271. Найдите симметрии а) параллелограмма; б) прямоугольника; в) ромба; г) равнобедренной трапеции.
Симметрия фигуры — любое движение, отличное от тождественного, при котором фигура отображается на себя.
а) Параллелограмм (не прямоугольник и не ромб). Одна симметрия — центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей: диагонали делятся этой точкой пополам, поэтому вершины переходят в противоположные вершины. Осевых симметрий нет: ось, переводящая параллелограмм в себя, проходила бы либо через пару противоположных вершин (тогда это диагональ, перпендикулярная другой диагонали, и параллелограмм — ромб), либо через середины пары противоположных сторон (тогда параллелограмм — прямоугольник).
б) Прямоугольник (не квадрат). Три симметрии: центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей и две осевые — относительно прямых, проходящих через середины противоположных сторон (серединные перпендикуляры к сторонам). Диагонали осями симметрии не являются. (Поворот на 180° вокруг центра — та же центральная симметрия.) Для квадрата добавляются ещё две осевые симметрии относительно диагоналей и два поворота на 90°.
в) Ромб (не квадрат). Три симметрии: центральная относительно точки пересечения диагоналей и две осевые относительно прямых, содержащих диагонали (диагонали ромба — его оси симметрии, так как они являются биссектрисами углов и перпендикулярны друг другу).
г) Равнобедренная трапеция (не параллелограмм). Одна симметрия — осевая относительно прямой, проходящей через середины оснований (серединный перпендикуляр к основаниям). Центральной симметрии нет: иначе трапеция была бы параллелограммом (см. задачу 1275).
а) Параллелограмм (не прямоугольник и не ромб). Одна симметрия — центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей: диагонали делятся этой точкой пополам, поэтому вершины переходят в противоположные вершины. Осевых симметрий нет: ось, переводящая параллелограмм в себя, проходила бы либо через пару противоположных вершин (тогда это диагональ, перпендикулярная другой диагонали, и параллелограмм — ромб), либо через середины пары противоположных сторон (тогда параллелограмм — прямоугольник).
б) Прямоугольник (не квадрат). Три симметрии: центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей и две осевые — относительно прямых, проходящих через середины противоположных сторон (серединные перпендикуляры к сторонам). Диагонали осями симметрии не являются. (Поворот на 180° вокруг центра — та же центральная симметрия.) Для квадрата добавляются ещё две осевые симметрии относительно диагоналей и два поворота на 90°.
в) Ромб (не квадрат). Три симметрии: центральная относительно точки пересечения диагоналей и две осевые относительно прямых, содержащих диагонали (диагонали ромба — его оси симметрии, так как они являются биссектрисами углов и перпендикулярны друг другу).
г) Равнобедренная трапеция (не параллелограмм). Одна симметрия — осевая относительно прямой, проходящей через середины оснований (серединный перпендикуляр к основаниям). Центральной симметрии нет: иначе трапеция была бы параллелограммом (см. задачу 1275).
1272. Сколько осей симметрии имеет правильный n-угольник?
Ответ: n осей симметрии.
Пусть O — центр правильного n-угольника. Осевые симметрии: прямая OA₁, проведённая через центр и любую вершину A₁, является осью симметрии, и вообще любая прямая, проходящая через центр и вершину или через центр и середину стороны, — ось симметрии (так как в правильном многоугольнике центр равноудалён от вершин, а стороны равны).
Если n нечётно, то каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны: всего n осей, по одной для каждой вершины.
Если n чётно, то есть n/2 осей через пары противоположных вершин и n/2 осей через середины противоположных сторон, всего n осей.
Других осей нет. Любая симметрия правильного n-угольника переводит вершины в вершины и сохраняет расстояния, поэтому она определяется тем, в какую вершину перешла вершина A₁ (n способов) и в какую из двух соседних вершин перешла A₂ (2 способа). Всего получается не более 2n движений, среди которых n−1 поворотов (без тождественного) и тождественное; поэтому осевых симметрий остаётся ровно n.
Пусть O — центр правильного n-угольника. Осевые симметрии: прямая OA₁, проведённая через центр и любую вершину A₁, является осью симметрии, и вообще любая прямая, проходящая через центр и вершину или через центр и середину стороны, — ось симметрии (так как в правильном многоугольнике центр равноудалён от вершин, а стороны равны).
Если n нечётно, то каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны: всего n осей, по одной для каждой вершины.
Если n чётно, то есть n/2 осей через пары противоположных вершин и n/2 осей через середины противоположных сторон, всего n осей.
Других осей нет. Любая симметрия правильного n-угольника переводит вершины в вершины и сохраняет расстояния, поэтому она определяется тем, в какую вершину перешла вершина A₁ (n способов) и в какую из двух соседних вершин перешла A₂ (2 способа). Всего получается не более 2n движений, среди которых n−1 поворотов (без тождественного) и тождественное; поэтому осевых симметрий остаётся ровно n.
1273. Найдите симметрии а) правильного пятиугольника; б) правильного шестиугольника; в) правильного n-угольника.
В решении используется: симметриями фигуры называют все движения, отличные от тождественного, переводящие её в себя. Любая симметрия правильного n-угольника переводит вершины в вершины и сохраняет расстояние до центра O, поэтому это либо поворот вокруг O, либо осевая симметрия с осью, проходящей через O.
в) Правильный n-угольник имеет 2n − 1 симметрий: n−1 поворотов вокруг центра на углы k·360°/n, где k = 1, 2, …, n−1, и n осевых симметрий (задача 1272). Если n чётно, то при k = n/2 поворот на 180° — это центральная симметрия.
а) Правильный пятиугольник: 9 симметрий. Это 5 осевых симметрий (оси через вершину и середину противоположной стороны) и 4 поворота вокруг центра на 72°, 144°, 216°, 288°. Центральной симметрии нет.
б) Правильный шестиугольник: 11 симметрий. Это 6 осевых симметрий (3 оси через противоположные вершины и 3 оси через середины противоположных сторон) и 5 поворотов вокруг центра на 60°, 120°, 180°, 240°, 300°; поворот на 180° — центральная симметрия.
в) Правильный n-угольник имеет 2n − 1 симметрий: n−1 поворотов вокруг центра на углы k·360°/n, где k = 1, 2, …, n−1, и n осевых симметрий (задача 1272). Если n чётно, то при k = n/2 поворот на 180° — это центральная симметрия.
а) Правильный пятиугольник: 9 симметрий. Это 5 осевых симметрий (оси через вершину и середину противоположной стороны) и 4 поворота вокруг центра на 72°, 144°, 216°, 288°. Центральной симметрии нет.
б) Правильный шестиугольник: 11 симметрий. Это 6 осевых симметрий (3 оси через противоположные вершины и 3 оси через середины противоположных сторон) и 5 поворотов вокруг центра на 60°, 120°, 180°, 240°, 300°; поворот на 180° — центральная симметрия.