Глава XIV. §2. Параллельный перенос и поворот — с. 323
1269. Если при повороте вокруг точки О на некоторый угол прямая а переходит в прямую а₁, то угол между прямыми а и а₁ либо равен углу поворота, либо дополняет его до 180°. Докажите.
Пусть α — угол поворота, 0° < α < 180° (при α = 180° поворот — центральная симметрия, прямая переходит в параллельную ей или в себя).
1) Прямая a проходит через O. Тогда O неподвижна и лежит на a₁. Возьмём на a точку M ≠ O; её образ M₁ лежит на a₁ и ∠MOM₁ = α. Значит, прямые a = OM и a₁ = OM₁ пересекаются в O и образуют угол α; смежные с ним углы равны 180° − α. Итак, угол между прямыми равен α или 180° − α.
2) Прямая a не проходит через O. Опустим на a перпендикуляр OH. Пусть H₁ — образ H. Поворот сохраняет расстояния и углы, поэтому OH₁ = OH, ∠HOH₁ = α и прямая a₁ перпендикулярна OH₁ в точке H₁ (см. решение задачи 1268).
Если a ∦ a₁, обозначим X их точку пересечения. Углы OHX и OH₁X прямые, поэтому точки H и H₁ лежат на окружности с диаметром OX. Вписанные углы HOH₁ и HXH₁ опираются на одну и ту же хорду HH₁. Если точки O и X лежат по одну сторону от прямой HH₁, то ∠HXH₁ = ∠HOH₁ = α; если по разные стороны, то ∠HXH₁ = 180° − α.
Угол HXH₁ — это угол между прямыми a и a₁ (стороны XH и XH₁ лежат на этих прямых), а другие углы между ними ему равны или смежные. Поэтому угол между a и a₁ равен либо α, либо 180° − α, что и требовалось.
1) Прямая a проходит через O. Тогда O неподвижна и лежит на a₁. Возьмём на a точку M ≠ O; её образ M₁ лежит на a₁ и ∠MOM₁ = α. Значит, прямые a = OM и a₁ = OM₁ пересекаются в O и образуют угол α; смежные с ним углы равны 180° − α. Итак, угол между прямыми равен α или 180° − α.
2) Прямая a не проходит через O. Опустим на a перпендикуляр OH. Пусть H₁ — образ H. Поворот сохраняет расстояния и углы, поэтому OH₁ = OH, ∠HOH₁ = α и прямая a₁ перпендикулярна OH₁ в точке H₁ (см. решение задачи 1268).
Если a ∦ a₁, обозначим X их точку пересечения. Углы OHX и OH₁X прямые, поэтому точки H и H₁ лежат на окружности с диаметром OX. Вписанные углы HOH₁ и HXH₁ опираются на одну и ту же хорду HH₁. Если точки O и X лежат по одну сторону от прямой HH₁, то ∠HXH₁ = ∠HOH₁ = α; если по разные стороны, то ∠HXH₁ = 180° − α.
Угол HXH₁ — это угол между прямыми a и a₁ (стороны XH и XH₁ лежат на этих прямых), а другие углы между ними ему равны или смежные. Поэтому угол между a и a₁ равен либо α, либо 180° − α, что и требовалось.
1270. Даны два равных и а) параллельных; б) не параллельных отрезка. Постройте центр О поворота, при котором один отрезок отображается на другой.
Пусть AB и A₁B₁ — данные отрезки, AB = A₁B₁. Нужен поворот вокруг O, при котором A переходит в A₁, а B — в B₁ (концы можно обозначить так, чтобы это было возможно; см. п. а).
Анализ. Поворот сохраняет расстояние до центра, поэтому OA = OA₁ и OB = OB₁. Значит, O лежит на серединном перпендикуляре к AA₁ и на серединном перпендикуляре к BB₁.
б) Отрезки не параллельны. Строим серединные перпендикуляры к отрезкам AA₁ и BB₁ (циркулем и линейкой). Точка их пересечения — центр O.
Доказательство. Для направленных отрезков AB и A₁B₁ одинаковой длины существует поворот (или параллельный перенос), переводящий A в A₁ и B в B₁ — это поворот на угол между векторами AB и A₁B₁. Он ненулевой, так как отрезки не параллельны, значит, это настоящий поворот. Его центр равноудалён от A и A₁, а также от B и B₁, то есть лежит на обоих серединных перпендикулярах. Эти перпендикуляры не параллельны (иначе AA₁ ∥ BB₁ и AB = A₁B₁ давали бы параллельный перенос или параллельные отрезки), поэтому они пересекаются в единственной точке, и она является искомым центром O.
а) Отрезки параллельны. Если векторы AB и A₁B₁ противоположны (то есть ABA₁B₁ — параллелограмм, у которого AA₁ и BB₁ — диагонали), то поворот на 180° с центром в середине AA₁ (она же середина BB₁) переводит A в A₁, B в B₁. Построение: найти середину O отрезка AA₁ (серединным перпендикуляром или диагоналями). Если же векторы AB и A₁B₁ направлены одинаково, то переход A → A₁, B → B₁ — параллельный перенос, а нужный поворот получается при другом соответствии концов: A → B₁, B → A₁ (тогда векторы противоположны), и центром служит середина отрезка AB₁ (она же середина BA₁).
Анализ. Поворот сохраняет расстояние до центра, поэтому OA = OA₁ и OB = OB₁. Значит, O лежит на серединном перпендикуляре к AA₁ и на серединном перпендикуляре к BB₁.
б) Отрезки не параллельны. Строим серединные перпендикуляры к отрезкам AA₁ и BB₁ (циркулем и линейкой). Точка их пересечения — центр O.
Доказательство. Для направленных отрезков AB и A₁B₁ одинаковой длины существует поворот (или параллельный перенос), переводящий A в A₁ и B в B₁ — это поворот на угол между векторами AB и A₁B₁. Он ненулевой, так как отрезки не параллельны, значит, это настоящий поворот. Его центр равноудалён от A и A₁, а также от B и B₁, то есть лежит на обоих серединных перпендикулярах. Эти перпендикуляры не параллельны (иначе AA₁ ∥ BB₁ и AB = A₁B₁ давали бы параллельный перенос или параллельные отрезки), поэтому они пересекаются в единственной точке, и она является искомым центром O.
а) Отрезки параллельны. Если векторы AB и A₁B₁ противоположны (то есть ABA₁B₁ — параллелограмм, у которого AA₁ и BB₁ — диагонали), то поворот на 180° с центром в середине AA₁ (она же середина BB₁) переводит A в A₁, B в B₁. Построение: найти середину O отрезка AA₁ (серединным перпендикуляром или диагоналями). Если же векторы AB и A₁B₁ направлены одинаково, то переход A → A₁, B → B₁ — параллельный перенос, а нужный поворот получается при другом соответствии концов: A → B₁, B → A₁ (тогда векторы противоположны), и центром служит середина отрезка AB₁ (она же середина BA₁).