Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. § 47. Архимедова сила — с. 161
§ 47. Вопрос 1. Опишите опыт, изображённый на рисунке 154. Что он доказывает? [на рисунке: а) к пружине со стрелкой-указателем подвешены пустое ведёрко и цилиндр такого же объёма, указатель отмечен; б) цилиндр погружён в отливной сосуд с водой, вытесненная вода льётся в стакан, пружина сжимается; в) вода из стакана перелита в ведёрко, указатель вернулся в исходное положение]
К пружине подвешивают пустое ведёрко и металлический цилиндр, объём которого равен объёму ведёрка. По растяжению пружины судят о весе тела, отмечают положение стрелки-указателя (рис. 154, а). Затем цилиндр целиком погружают в отливной сосуд, наполненный водой до уровня отливной трубки. Часть воды, объём которой равен объёму цилиндра, выливается в стакан. Пружина сжимается, стрелка поднимается: вес цилиндра в воде уменьшился (рис. 154, б). Вылившуюся воду переливают в ведёрко, не вынимая цилиндра из воды, и стрелка возвращается в прежнее положение (рис. 154, в).
Опыт доказывает, что на погружённое в жидкость тело действует выталкивающая сила, направленная вверх, и что она равна весу жидкости в объёме тела: вес тела при погружении уменьшается ровно на вес вытесненной им воды. Если погрузить в воду только часть цилиндра, он вытеснит меньше воды, и выталкивающая сила будет соответственно меньше.
Опыт доказывает, что на погружённое в жидкость тело действует выталкивающая сила, направленная вверх, и что она равна весу жидкости в объёме тела: вес тела при погружении уменьшается ровно на вес вытесненной им воды. Если погрузить в воду только часть цилиндра, он вытеснит меньше воды, и выталкивающая сила будет соответственно меньше.
§ 47. Вопрос 2. Какую силу называют архимедовой?
Архимедовой называют силу, выталкивающую тело из жидкости или газа. Она направлена вертикально вверх, противоположно силе тяжести, и обозначается F⃗А. Архимедова сила равна весу жидкости (или газа), вытесненной погружённой частью тела. Названа в честь древнегреческого учёного Архимеда, который впервые установил эту закономерность для тел, погружённых в жидкость.
§ 47. Вопрос 3. По какой формуле можно рассчитать архимедову силу?
Архимедову силу рассчитывают по формуле FА = ρжVп.чg, где ρж — плотность жидкости (или газа), Vп.ч — объём погружённой части тела (равный объёму вытесненной жидкости), g — ускорение свободного падения. Формула следует из равенства FА = Pж = mжg и соотношения mж = ρжVп.ч. Для расчёта нужно выразить плотность в кг/м³, объём — в м³; тогда сила получится в ньютонах.
§ 47. Вопрос 4. От каких величин и как зависит архимедова сила?
Из формулы FА = ρжVп.чg следует, что архимедова сила зависит от плотности жидкости (газа) ρж и от объёма погружённой части тела Vп.ч, причём прямо пропорционально каждой из этих величин: чем больше плотность жидкости и чем больше объём погружённой части тела, тем больше архимедова сила. Например, в морской воде (1030 кг/м³) она больше, чем в пресной (1000 кг/м³), а в керосине (800 кг/м³) меньше. От плотности вещества самого тела, его формы, массы и глубины погружения (если тело полностью погружено) архимедова сила не зависит.
§ 47. Дополнительный вопрос. Как изменится выталкивающая сила (см. пример), если аналогичный эксперимент провести в космическом корабле, находящемся на поверхности Луны?
Выталкивающая сила FА = ρжVп.чg пропорциональна ускорению свободного падения g. На поверхности Луны g ≈ 1,6 Н/кг, что примерно в 6 раз меньше, чем на Земле (10 Н/кг). Плотность ртути и объём тела не изменятся. Поэтому в примере получим FА = 13 600 кг/м³ · 0,015 м³ · 1,6 Н/кг ≈ 326 Н ≈ 0,3 кН, то есть выталкивающая сила уменьшится примерно в 6 раз (с 2 кН до 0,3 кН). Одновременно в 6 раз уменьшится и сила тяжести тела, поэтому соотношение «тонет — всплывает» определяется только плотностями и не изменится.
Оговорка: значение g на Луне взято приближённо, 1,6 Н/кг.
Оговорка: значение g на Луне взято приближённо, 1,6 Н/кг.
Упражнение 29. Задача 1. К одной чаше весов подвешен цилиндр из алюминия, а к другой — оловянный такой же массы. Весы находятся в равновесии. Оба цилиндра одновременно погрузили в воду. Равновесие весов нарушилось. Объясните почему. Какая чаша весов перевесит?
Масса цилиндров одинакова, но плотности веществ разные: ρалюминия = 2700 кг/м³, ρолова = 7300 кг/м³. Объём V = m/ρ, поэтому у алюминиевого цилиндра объём больше, чем у оловянного: Vал = m/2700, Vол = m/7300.
Архимедова сила FА = ρводыgV пропорциональна объёму погружённого тела. Следовательно, на алюминиевый цилиндр в воде действует большая выталкивающая сила, чем на оловянный. Вес каждого цилиндра в воде уменьшается на соответствующую архимедову силу, поэтому вес алюминиевого цилиндра станет меньше. Перевесит чаша с оловянным цилиндром (она опустится), а чаша с алюминиевым цилиндром поднимется.
Например, при m = 0,27 кг: Vал = 0,27/2700 = 1·10⁻⁴ м³, FА ал = 1000 · 10 · 10⁻⁴ = 1 Н; Vол = 0,27/7300 ≈ 3,7·10⁻⁵ м³, FА ол ≈ 0,37 Н. Вес в воде: у алюминия 2,7 − 1 = 1,7 Н, у олова 2,7 − 0,37 ≈ 2,33 Н.
Архимедова сила FА = ρводыgV пропорциональна объёму погружённого тела. Следовательно, на алюминиевый цилиндр в воде действует большая выталкивающая сила, чем на оловянный. Вес каждого цилиндра в воде уменьшается на соответствующую архимедову силу, поэтому вес алюминиевого цилиндра станет меньше. Перевесит чаша с оловянным цилиндром (она опустится), а чаша с алюминиевым цилиндром поднимется.
Например, при m = 0,27 кг: Vал = 0,27/2700 = 1·10⁻⁴ м³, FА ал = 1000 · 10 · 10⁻⁴ = 1 Н; Vол = 0,27/7300 ≈ 3,7·10⁻⁵ м³, FА ол ≈ 0,37 Н. Вес в воде: у алюминия 2,7 − 1 = 1,7 Н, у олова 2,7 − 0,37 ≈ 2,33 Н.
Упражнение 29. Задача 2. К коромыслу весов подвешены два железных шарика одинакового объёма. Нарушится ли равновесие весов, если один шарик погрузить в воду, другой — в керосин?
Ответ обоснуйте.
Равновесие нарушится. Шарики железные и одинакового объёма, поэтому их силы тяжести равны, и весы вначале уравновешены. При погружении на каждый шарик действует архимедова сила FА = ρжgV. Объёмы одинаковы, но плотности жидкостей разные: ρводы = 1000 кг/м³ больше ρкеросина = 800 кг/м³. Значит, на шарик в воде действует большая выталкивающая сила: FА вода > FА керосин (отношение 1000 : 800 = 1,25). Вес шарика в воде станет меньше, чем в керосине, и перевесит шарик, погружённый в керосин: его чаша опустится.
Упражнение 29. Задача 3. Какую силу нужно приложить, чтобы кусок гранита объёмом 40 дм³ удержать в воде; в воздухе?
Дано: V = 40 дм³; ρгр = 2600 кг/м³; ρв = 1000 кг/м³; g = 10 Н/кг.
СИ: V = 0,04 м³.
Найти: F₁ (в воде), F₂ (в воздухе).
Решение: В воздухе нужно уравновесить силу тяжести (выталкивающей силой воздуха пренебрегаем): F₂ = mg = ρгр V g.
F₂ = 2600 кг/м³ · 0,04 м³ · 10 Н/кг = 1040 Н.
В воде на гранит действует ещё архимедова сила FА = ρв V g = 1000 · 0,04 · 10 = 400 Н, направленная вверх. Нужная сила: F₁ = mg − FА = 1040 Н − 400 Н = 640 Н.
Ответ: в воде нужна сила 640 Н, в воздухе — 1040 Н (≈ 1,04 кН).
Оговорка: плотность гранита взята равной 2600 кг/м³ (в таблице 3 гранита нет; у разных сортов 2600–2800 кг/м³), поэтому ответ приближённый.
СИ: V = 0,04 м³.
Найти: F₁ (в воде), F₂ (в воздухе).
Решение: В воздухе нужно уравновесить силу тяжести (выталкивающей силой воздуха пренебрегаем): F₂ = mg = ρгр V g.
F₂ = 2600 кг/м³ · 0,04 м³ · 10 Н/кг = 1040 Н.
В воде на гранит действует ещё архимедова сила FА = ρв V g = 1000 · 0,04 · 10 = 400 Н, направленная вверх. Нужная сила: F₁ = mg − FА = 1040 Н − 400 Н = 640 Н.
Ответ: в воде нужна сила 640 Н, в воздухе — 1040 Н (≈ 1,04 кН).
Оговорка: плотность гранита взята равной 2600 кг/м³ (в таблице 3 гранита нет; у разных сортов 2600–2800 кг/м³), поэтому ответ приближённый.
Упражнение 29. Задача 4. В какой воде, пресной или морской, на человека действует большая выталкивающая сила?
Выталкивающая сила FА = ρжVп.чg при одинаковом объёме погружённой части тела пропорциональна плотности жидкости. Плотность морской воды (1030 кг/м³) больше плотности пресной (1000 кг/м³). Следовательно, на человека в морской воде действует большая выталкивающая сила: при одинаковом погружении она в 1030/1000 = 1,03 раза больше. Поэтому в море плавать легче, чем в реке.
Упражнение 29. Задача 5*. Одинаковая ли сила потребуется для того, чтобы удержать пустое ведро в воздухе и это же ведро, но наполненное водой, в воде?
Ответ поясните.
Сила не одинакова: в воде она будет меньше. В воздухе пустое ведро удерживают силой F₁ = mвg, где mв — масса самого ведра (выталкивающей силой воздуха пренебрегаем).
Ведро, полностью наполненное водой и погружённое в воду, находится в воде, плотность которой равна плотности воды внутри него. На воду внутри ведра сила тяжести mводg уравновешивается давлением окружающей воды, то есть эта вода «ничего не весит». Остаётся только вес самого ведра, уменьшенный на архимедову силу, которая действует на материал его стенок: F₂ = mвg − ρводыVстенокg, где Vстенок — объём металла стенок. Поскольку Vстенок мал, F₂ лишь немного меньше F₁. Если же ведро поднимать из воды, как только оно выходит на поверхность, вода вытекает не сразу и сила резко возрастает (нужно держать вес воды в нём).
Вывод: силы почти равны, но в воде нужна сила чуть меньшая, чем в воздухе.
Ведро, полностью наполненное водой и погружённое в воду, находится в воде, плотность которой равна плотности воды внутри него. На воду внутри ведра сила тяжести mводg уравновешивается давлением окружающей воды, то есть эта вода «ничего не весит». Остаётся только вес самого ведра, уменьшенный на архимедову силу, которая действует на материал его стенок: F₂ = mвg − ρводыVстенокg, где Vстенок — объём металла стенок. Поскольку Vстенок мал, F₂ лишь немного меньше F₁. Если же ведро поднимать из воды, как только оно выходит на поверхность, вода вытекает не сразу и сила резко возрастает (нужно держать вес воды в нём).
Вывод: силы почти равны, но в воде нужна сила чуть меньшая, чем в воздухе.
Задание 33. Измерьте выталкивающую силу, действующую на банку с водой, когда она погружена в воду наполовину; целиком. Выясните зависимость выталкивающей силы от глубины погружения тела в жидкость.
Оборудование: динамометр с пределом 5 Н (цена деления 0,1 Н), стеклянная банка с завинчивающейся крышкой, нитка, широкий сосуд с водой, линейка.
Ход выполнения. 1. Наливаем в банку воду (при необходимости добавляем немного песка), закрываем крышкой, подвешиваем на нитке к динамометру и измеряем вес банки с водой в воздухе: P = 3,0 Н.
2. Опускаем банку в сосуд с водой так, чтобы она была погружена наполовину, и снимаем показание динамометра: P₁ = 1,75 Н. Выталкивающая сила FА₁ = P − P₁ = 3,0 Н − 1,75 Н = 1,25 Н.
3. Погружаем банку целиком, не касаясь дна, и снова снимаем показание: P₂ = 0,5 Н. FА₂ = 3,0 Н − 0,5 Н = 2,5 Н.
4. Опускаем полностью погружённую банку глубже (центр банки на 4 см и на 12 см ниже поверхности): показание динамометра остаётся 0,5 Н, то есть FА не меняется.
Проверка расчётом: объём банки около 250 см³ = 2,5·10⁻⁴ м³. Целиком: FА = ρвgV = 1000 · 10 · 2,5·10⁻⁴ = 2,5 Н. Наполовину: V/2 = 1,25·10⁻⁴ м³, FА = 1,25 Н. Измерения совпадают с расчётом в пределах погрешности динамометра (около ± 0,05 Н).
Вывод: выталкивающая сила пропорциональна объёму погружённой части тела: при погружении наполовину она вдвое меньше, чем при полном (1,25 Н и 2,5 Н). Когда тело погружено целиком, глубина погружения на выталкивающую силу не влияет, так как архимедова сила зависит только от плотности жидкости и объёма погружённой части тела.
Оговорка: числовые значения получены для типичного оборудования и могут отличаться.
Ход выполнения. 1. Наливаем в банку воду (при необходимости добавляем немного песка), закрываем крышкой, подвешиваем на нитке к динамометру и измеряем вес банки с водой в воздухе: P = 3,0 Н.
2. Опускаем банку в сосуд с водой так, чтобы она была погружена наполовину, и снимаем показание динамометра: P₁ = 1,75 Н. Выталкивающая сила FА₁ = P − P₁ = 3,0 Н − 1,75 Н = 1,25 Н.
3. Погружаем банку целиком, не касаясь дна, и снова снимаем показание: P₂ = 0,5 Н. FА₂ = 3,0 Н − 0,5 Н = 2,5 Н.
4. Опускаем полностью погружённую банку глубже (центр банки на 4 см и на 12 см ниже поверхности): показание динамометра остаётся 0,5 Н, то есть FА не меняется.
Проверка расчётом: объём банки около 250 см³ = 2,5·10⁻⁴ м³. Целиком: FА = ρвgV = 1000 · 10 · 2,5·10⁻⁴ = 2,5 Н. Наполовину: V/2 = 1,25·10⁻⁴ м³, FА = 1,25 Н. Измерения совпадают с расчётом в пределах погрешности динамометра (около ± 0,05 Н).
Вывод: выталкивающая сила пропорциональна объёму погружённой части тела: при погружении наполовину она вдвое меньше, чем при полном (1,25 Н и 2,5 Н). Когда тело погружено целиком, глубина погружения на выталкивающую силу не влияет, так как архимедова сила зависит только от плотности жидкости и объёма погружённой части тела.
Оговорка: числовые значения получены для типичного оборудования и могут отличаться.