Глава 16. § 122. Примеры решения задач по теме «Электрический ток в различных средах» — с. 407
§ 122. Задача для самостоятельного решения 1. Однородное электрическое поле напряжённостью Е создано в металле и в вакууме. Одинаковое ли расстояние пройдёт за одно и то же время электрон в том и другом случаях?
Начальная скорость электрона равна нулю.
В вакууме на электрон действует только сила eE, поэтому он движется равноускоренно с ускорением a = eE/m. За время t он проходит расстояние s = at²/2 = eEt²/(2m), а скорость растёт, пока он летит.
В металле электрон непрерывно сталкивается с ионами кристаллической решётки и теряет приобретённую энергию. Поэтому он движется с постоянной средней скоростью упорядоченного движения (скорость дрейфа) v = μE, где μ — подвижность электрона, и проходит расстояние s = vt, которое растёт с временем линейно. Дрейфовая скорость электрона в металле очень мала (порядка 10⁻⁴ м/с), и за одно и то же время он пройдёт гораздо меньший путь, чем в вакууме.
Ответ: нет; в металле расстояние значительно меньше, чем в вакууме.
В металле электрон непрерывно сталкивается с ионами кристаллической решётки и теряет приобретённую энергию. Поэтому он движется с постоянной средней скоростью упорядоченного движения (скорость дрейфа) v = μE, где μ — подвижность электрона, и проходит расстояние s = vt, которое растёт с временем линейно. Дрейфовая скорость электрона в металле очень мала (порядка 10⁻⁴ м/с), и за одно и то же время он пройдёт гораздо меньший путь, чем в вакууме.
Ответ: нет; в металле расстояние значительно меньше, чем в вакууме.
§ 122. Задача для самостоятельного решения 2. Длинная проволока, на концах которой поддерживается постоянное напряжение, накалилась докрасна. Половину проволоки опустили в холодную воду. Почему часть проволоки, оставшаяся над водой, нагревается сильнее?
Сопротивление металлической проволоки растёт с температурой: R = R₀(1 + αΔt). Половина проволоки в воде охлаждается, её сопротивление уменьшается, поэтому общее сопротивление проволоки падает.
При постоянном напряжении U сила тока I = U/R_общ увеличивается. Часть проволоки над водой имеет прежнее сопротивление (она по-прежнему горячая), но через неё идёт больший ток, поэтому выделяющаяся в ней мощность P = I²R возрастает, и эта часть нагревается сильнее.
Ответ: сопротивление охлаждённой половины уменьшилось, ток в цепи возрос, и в оставшейся над водой части выделяется большее количество теплоты.
При постоянном напряжении U сила тока I = U/R_общ увеличивается. Часть проволоки над водой имеет прежнее сопротивление (она по-прежнему горячая), но через неё идёт больший ток, поэтому выделяющаяся в ней мощность P = I²R возрастает, и эта часть нагревается сильнее.
Ответ: сопротивление охлаждённой половины уменьшилось, ток в цепи возрос, и в оставшейся над водой части выделяется большее количество теплоты.
§ 122. Задача для самостоятельного решения 3. Спираль электрической плитки перегорела и после соединения концов оказалась несколько короче. Как изменилось количество теплоты, выделяемой плиткой за единицу времени?
Плитка включена в сеть, напряжение U постоянно. Мощность, то есть количество теплоты за единицу времени, P = U²/R. Сопротивление спирали R = ρl/S. Спираль укоротилась, значит l уменьшилась, а R уменьшилось. Следовательно, мощность P = U²/R возросла: плитка стала выделять за секунду большее количество теплоты.
Ответ: увеличилось.
Ответ: увеличилось.
§ 122. Задача для самостоятельного решения 4. Алюминиевая обмотка электромагнита при температуре 0 °C потребляет мощность 5 кВт. Чему будет равна потребляемая мощность, если во время работы температура обмотки повысится до 60 °C, а напряжение останется неизменным?
Что будет, если неизменной останется сила тока в обмотке?
Температурный коэффициент сопротивления алюминия 3,8 · 10⁻³ К⁻¹.
Сопротивление обмотки при нагревании: R = R₀(1 + αΔt), где Δt = 60 К. Тогда 1 + αΔt = 1 + 3,8·10⁻³ К⁻¹ · 60 К = 1,228.
При постоянном напряжении P = U²/R, поэтому P₂ = P₁/(1 + αΔt) = 5 кВт / 1,228 ≈ 4,07 кВт.
При постоянной силе тока P = I²R, поэтому P₂ = P₁(1 + αΔt) = 5 кВт · 1,228 = 6,14 кВт.
Ответ: при неизменном напряжении мощность уменьшится до ≈4 кВт (4,07 кВт); при неизменной силе тока увеличится до ≈6,1 кВт.
При постоянном напряжении P = U²/R, поэтому P₂ = P₁/(1 + αΔt) = 5 кВт / 1,228 ≈ 4,07 кВт.
При постоянной силе тока P = I²R, поэтому P₂ = P₁(1 + αΔt) = 5 кВт · 1,228 = 6,14 кВт.
Ответ: при неизменном напряжении мощность уменьшится до ≈4 кВт (4,07 кВт); при неизменной силе тока увеличится до ≈6,1 кВт.
§ 122. Задача для самостоятельного решения 5. Концентрация электронов проводимости в кремнии при комнатной температуре n₁ = 10¹⁷ м⁻³, а при 700 °C — n₂ = 10²⁴ м⁻³. Какую часть составляет число электронов проводимости от общего числа атомов кремния?
Плотность кремния 2300 кг/м³.
Число атомов кремния в единице объёма n₀ = ρ·N_A/M, где M = 0,028 кг/моль, N_A = 6,02 · 10²³ моль⁻¹.
n₀ = 2300 · 6,02 · 10²³ / 0,028 ≈ 4,9 · 10²⁸ м⁻³.
Доля электронов проводимости равна n/n₀.
При комнатной температуре: n₁/n₀ = 10¹⁷ / (4,9 · 10²⁸) ≈ 2,0 · 10⁻¹².
При 700 °C: n₂/n₀ = 10²⁴ / (4,9 · 10²⁸) ≈ 2,0 · 10⁻⁵.
Ответ: ≈ 2,0 · 10⁻¹² при комнатной температуре (один электрон проводимости примерно на 5 · 10¹¹ атомов) и ≈ 2,0 · 10⁻⁵ при 700 °C (примерно на 5 · 10⁴ атомов).
Оговорка: в ответах учебника 1,94 · 10⁻¹² и 1,94 · 10⁻⁵; такие числа получаются при плотности кремния около 2400 кг/м³, а при заданной в условии плотности 2300 кг/м³ получается 2,0 · 10⁻¹² и 2,0 · 10⁻⁵.
n₀ = 2300 · 6,02 · 10²³ / 0,028 ≈ 4,9 · 10²⁸ м⁻³.
Доля электронов проводимости равна n/n₀.
При комнатной температуре: n₁/n₀ = 10¹⁷ / (4,9 · 10²⁸) ≈ 2,0 · 10⁻¹².
При 700 °C: n₂/n₀ = 10²⁴ / (4,9 · 10²⁸) ≈ 2,0 · 10⁻⁵.
Ответ: ≈ 2,0 · 10⁻¹² при комнатной температуре (один электрон проводимости примерно на 5 · 10¹¹ атомов) и ≈ 2,0 · 10⁻⁵ при 700 °C (примерно на 5 · 10⁴ атомов).
Оговорка: в ответах учебника 1,94 · 10⁻¹² и 1,94 · 10⁻⁵; такие числа получаются при плотности кремния около 2400 кг/м³, а при заданной в условии плотности 2300 кг/м³ получается 2,0 · 10⁻¹² и 2,0 · 10⁻⁵.
§ 122. Задача для самостоятельного решения 6. Для получения примесной проводимости применяют индий, мышьяк, фосфор, галлий, сурьму, висмут. Какие из этих элементов можно ввести в качестве примеси в кремний, чтобы получить электронную проводимость?
Электронную проводимость (n-типа) дают донорные примеси: элементы V группы с пятью валентными электронами, у которых один электрон оказывается лишним и становится свободным (кремний четырёхвалентен). Индий и галлий трёхвалентны, это акцепторы, они дают дырочную проводимость. Мышьяк, фосфор и сурьма пятивалентны, поэтому подходят. Висмут тоже пятивалентен, но его атомы слишком велики и плохо встраиваются в решётку кремния, поэтому в ответе учебника он не назван.
Ответ: мышьяк, фосфор, сурьма.
Ответ: мышьяк, фосфор, сурьма.
§ 122. Задача для самостоятельного решения 7. Какой тип полупроводника получится, если в кремний ввести небольшое количество алюминия?
Алюминий трёхвалентен, а кремний четырёхвалентен. Атом алюминия образует три ковалентные связи, а четвёртой связи не хватает одного электрона: возникает дырка. Алюминий — акцепторная примесь, основные носители заряда — дырки (положительные).
Ответ: полупроводник p-типа (дырочной проводимости).
Ответ: полупроводник p-типа (дырочной проводимости).
§ 122. Задача для самостоятельного решения 8. Для покрытия цинком металлических изделий в электролитическую ванну помещён цинковый электрод массой m = 0,01 кг. Какой заряд должен пройти через ванну, чтобы электрод был полностью израсходован?
Электрохимический эквивалент цинка k = 3,4 · 10⁻⁷ кг/Кл.
Закон Фарадея: m = kq, откуда q = m/k.
q = 0,01 кг / (3,4·10⁻⁷ кг/Кл) ≈ 2,94·10⁴ Кл.
Ответ: q ≈ 2,9·10⁴ Кл.
q = 0,01 кг / (3,4·10⁻⁷ кг/Кл) ≈ 2,94·10⁴ Кл.
Ответ: q ≈ 2,9·10⁴ Кл.