Глава 14. § 92. Примеры решения задач по теме «Закон Кулона» — с. 308
§ 92. Задача для самостоятельного решения 2. С какой силой взаимодействовали бы две капли воды на расстоянии 1 км, если бы удалось передать одной из капель 1% всех электронов, содержащихся в другой капле массой 0,03 г?
Число электронов в капле (задача 1 параграфа): N = 10·m/m₀ = 10·0,03 г / (3·10⁻²³ г) = 10²² (в молекуле воды 10 электронов, масса молекулы m₀ = 3·10⁻²³ г). Передаём 1% электронов: ΔN = 0,01·10²² = 10²⁰. Заряд каждой капли по модулю q = ΔN·e = 10²⁰ · 1,6·10⁻¹⁹ Кл = 16 Кл; капли заряжены разноимённо (одна приобрела электроны, другая их потеряла).
F = k·q²/r² = 9·10⁹ · 16² / (10³)² = 9·10⁹ · 256 / 10⁶ ≈ 2,3·10⁶ Н.
Ответ: F ≈ 2,3·10⁶ Н (притяжение).
F = k·q²/r² = 9·10⁹ · 16² / (10³)² = 9·10⁹ · 256 / 10⁶ ≈ 2,3·10⁶ Н.
Ответ: F ≈ 2,3·10⁶ Н (притяжение).
§ 92. Задача для самостоятельного решения 3. Два одинаковых шарика находятся на расстоянии 40 см друг от друга. Заряд одного из них 9·10⁻⁹ Кл, а заряд другого −2·10⁻⁹ Кл. Шарики привели в соприкосновение и вновь раздвинули на такое же расстояние. Определите силы их взаимодействия до и после соприкосновения.
r = 0,4 м.
До соприкосновения: F₁ = k|q₁||q₂|/r² = 9·10⁹ · 9·10⁻⁹ · 2·10⁻⁹ / 0,16 = 1,01·10⁻⁶ Н ≈ 1·10⁻⁶ Н (притяжение, заряды разноимённые).
После соприкосновения заряд делится поровну по закону сохранения заряда: q = (q₁ + q₂)/2 = (9 − 2)·10⁻⁹ / 2 = 3,5·10⁻⁹ Кл на каждом шарике.
F₂ = k·q²/r² = 9·10⁹ · (3,5·10⁻⁹)² / 0,16 = 9·10⁹ · 12,25·10⁻¹⁸ / 0,16 ≈ 6,9·10⁻⁷ Н (отталкивание, заряды одноимённые).
Ответ: F₁ ≈ 1·10⁻⁶ Н (притяжение); F₂ ≈ 6,9·10⁻⁷ Н (отталкивание).
До соприкосновения: F₁ = k|q₁||q₂|/r² = 9·10⁹ · 9·10⁻⁹ · 2·10⁻⁹ / 0,16 = 1,01·10⁻⁶ Н ≈ 1·10⁻⁶ Н (притяжение, заряды разноимённые).
После соприкосновения заряд делится поровну по закону сохранения заряда: q = (q₁ + q₂)/2 = (9 − 2)·10⁻⁹ / 2 = 3,5·10⁻⁹ Кл на каждом шарике.
F₂ = k·q²/r² = 9·10⁹ · (3,5·10⁻⁹)² / 0,16 = 9·10⁹ · 12,25·10⁻¹⁸ / 0,16 ≈ 6,9·10⁻⁷ Н (отталкивание, заряды одноимённые).
Ответ: F₁ ≈ 1·10⁻⁶ Н (притяжение); F₂ ≈ 6,9·10⁻⁷ Н (отталкивание).
§ 92. Задача для самостоятельного решения 4. Точечные заряды 1,0·10⁻⁸ Кл и 2,0·10⁻⁸ Кл закреплены на расстоянии 1 м друг от друга в вакууме. На середине отрезка, соединяющего эти заряды, на одинаковом расстоянии от каждого из них помещён точечный заряд, равный −3·10⁻⁹ Кл. Определите модуль и направление силы, действующей на него.
Расстояние от каждого заряда до третьего r = 0,5 м. Заряд q₃ = −3·10⁻⁹ Кл отрицателен, поэтому он притягивается к обоим положительным зарядам; силы направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.
F₁ = k·q₁|q₃|/r² = 9·10⁹ · 1,0·10⁻⁸ · 3·10⁻⁹ / 0,25 = 1,08·10⁻⁶ Н (к заряду q₁);
F₂ = k·q₂|q₃|/r² = 9·10⁹ · 2,0·10⁻⁸ · 3·10⁻⁹ / 0,25 = 2,16·10⁻⁶ Н (к заряду q₂).
Равнодействующая F = F₂ − F₁ = 2,16·10⁻⁶ − 1,08·10⁻⁶ = 1,08·10⁻⁶ Н ≈ 1,1·10⁻⁶ Н и направлена к большему заряду (2,0·10⁻⁸ Кл).
Ответ: F ≈ 1,1·10⁻⁶ Н, сила направлена по прямой, соединяющей заряды, к большему заряду.
F₁ = k·q₁|q₃|/r² = 9·10⁹ · 1,0·10⁻⁸ · 3·10⁻⁹ / 0,25 = 1,08·10⁻⁶ Н (к заряду q₁);
F₂ = k·q₂|q₃|/r² = 9·10⁹ · 2,0·10⁻⁸ · 3·10⁻⁹ / 0,25 = 2,16·10⁻⁶ Н (к заряду q₂).
Равнодействующая F = F₂ − F₁ = 2,16·10⁻⁶ − 1,08·10⁻⁶ = 1,08·10⁻⁶ Н ≈ 1,1·10⁻⁶ Н и направлена к большему заряду (2,0·10⁻⁸ Кл).
Ответ: F ≈ 1,1·10⁻⁶ Н, сила направлена по прямой, соединяющей заряды, к большему заряду.
§ 92. Задача для самостоятельного решения 5. Два одинаковых маленьких шарика подвешены в одной точке на нитях длиной 1 м в масле с диэлектрической проницаемостью ε = 2,2. Шарикам сообщили одинаковые заряды 9·10⁻⁶ Кл, при этом нити разошлись на угол 60°. Определите массу каждого шарика. Размерами шариков можно пренебречь.
На каждый шарик действуют сила тяжести mg, сила натяжения нити T и кулоновская сила отталкивания F (размерами шариков, а значит, и выталкивающей силой масла, пренебрегаем). Нити длиной l = 1 м образуют угол 60°, значит, каждая отклонена от вертикали на α = 30°, а треугольник из нитей и расстояния между шариками равносторонний: r = l = 1 м.
F = k·q²/(ε·r²) = 9·10⁹ · (9·10⁻⁶)² / (2,2 · 1²) ≈ 0,331 Н.
Равновесие: по оси x: F = T·sin α; по оси y: mg = T·cos α. Отсюда tg α = F/(mg), m = F/(g·tg α) = 0,331 / (9,8 · 0,577) ≈ 0,0586 кг ≈ 59 г.
Ответ: m ≈ 59 г (при g = 9,8 м/с²; при g = 10 м/с² получилось бы ≈ 57 г).
F = k·q²/(ε·r²) = 9·10⁹ · (9·10⁻⁶)² / (2,2 · 1²) ≈ 0,331 Н.
Равновесие: по оси x: F = T·sin α; по оси y: mg = T·cos α. Отсюда tg α = F/(mg), m = F/(g·tg α) = 0,331 / (9,8 · 0,577) ≈ 0,0586 кг ≈ 59 г.
Ответ: m ≈ 59 г (при g = 9,8 м/с²; при g = 10 м/с² получилось бы ≈ 57 г).
§ 92. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. Как изменится модуль силы взаимодействия двух небольших металлических шариков одинакового диаметра, имеющих заряды q₁ = +6 нКл и q₂ = −2 нКл, если шары привести в соприкосновение и раздвинуть на прежнее расстояние?
1) увеличится в 9 раз
2) увеличится в 3 раза
3) увеличится в 8 раз
4) уменьшится в 3 раза
1) увеличится в 9 раз
2) увеличится в 3 раза
3) увеличится в 8 раз
4) уменьшится в 3 раза
До соприкосновения F₁ = k·|q₁||q₂|/r² = k·6·2/r² = 12k/r² (в единицах нКл²). После соприкосновения заряды складываются и делятся поровну: q = (6 − 2)/2 = +2 нКл на каждом шарике, F₂ = k·2·2/r² = 4k/r². Отношение F₂/F₁ = 4/12 = 1/3: сила уменьшится в 3 раза (из притяжения превратится в отталкивание).
Ответ: 4) уменьшится в 3 раза.
Ответ: 4) уменьшится в 3 раза.
§ 92. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. Три медных шарика диаметром 1 см каждый расположены в воздухе в вершинах правильного треугольника со стороной 20 см. Первый шарик несёт заряд q₁ = 80 нКл, второй — q₂ = 30 нКл, а третий — q₃ = 40 нКл. С какой силой второй шарик действует на первый?
Ответ выразите в микроньютонах.
[рисунок: правильный треугольник, q₃ в верхней вершине, q₁ в левой нижней, q₂ в правой нижней]
[рисунок: правильный треугольник, q₃ в верхней вершине, q₁ в левой нижней, q₂ в правой нижней]
Диаметр шариков (1 см) много меньше расстояния между ними (20 см), поэтому их можно считать точечными зарядами; воздух принимаем за вакуум. Сила, с которой второй шарик действует на первый, определяется только q₁, q₂ и расстоянием r = 0,2 м (третий шарик на неё не влияет):
F = k·q₁q₂/r² = 9·10⁹ · 80·10⁻⁹ · 30·10⁻⁹ / 0,2² = 9·10⁹ · 2,4·10⁻¹⁵ / 0,04 = 5,4·10⁻⁴ Н = 540 мкН (отталкивание).
Ответ: 540 мкН.
F = k·q₁q₂/r² = 9·10⁹ · 80·10⁻⁹ · 30·10⁻⁹ / 0,2² = 9·10⁹ · 2,4·10⁻¹⁵ / 0,04 = 5,4·10⁻⁴ Н = 540 мкН (отталкивание).
Ответ: 540 мкН.
§ 92. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. Два пробковых противоположно заряженных шарика привязаны на нитях ко дну и к перекладине в верхней части сосуда, заполненного маслом (см. рис.). Диаметр шариков 2 мм, длина нитей 40 см, расстояние между центрами шариков 10 см. Считая нити невесомыми, определите натяжение верхней нити. Плотность пробки 130 кг/м³, плотность масла 800 кг/м³, его диэлектрическая проницаемость 6, модуль заряда шариков 3·10⁻⁸ Кл. Ответ выразите в миллиньютонах и округлите до сотых.
[рисунок: прямоугольный сосуд; по вертикальной оси друг над другом на небольшом расстоянии находятся два шарика, верхний на нити к перекладине, нижний на нити ко дну]
[рисунок: прямоугольный сосуд; по вертикальной оси друг над другом на небольшом расстоянии находятся два шарика, верхний на нити к перекладине, нижний на нити ко дну]
Радиус шарика R = 1 мм = 10⁻³ м, объём V = (4/3)πR³ ≈ 4,19·10⁻⁹ м³.
Рассмотрим верхний шарик. Вниз действуют сила тяжести mg = ρ_п·V·g и сила кулоновского притяжения к нижнему шарику F = k·q²/(ε·r²); вверх — сила Архимеда F_A = ρ_м·V·g и сила натяжения верхней нити T. Условие равновесия: T + F_A = mg + F, откуда T = F + (ρ_п − ρ_м)·V·g.
F = 9·10⁹ · (3·10⁻⁸)² / (6 · 0,1²) = 9·10⁹ · 9·10⁻¹⁶ / 0,06 = 1,35·10⁻⁴ Н.
(ρ_п − ρ_м)·V·g = (130 − 800) · 4,19·10⁻⁹ · 9,8 ≈ −2,75·10⁻⁵ Н.
T ≈ 1,35·10⁻⁴ − 0,275·10⁻⁴ ≈ 1,07·10⁻⁴ Н ≈ 0,11 мН.
Ответ: T ≈ 0,11 мН.
Рассмотрим верхний шарик. Вниз действуют сила тяжести mg = ρ_п·V·g и сила кулоновского притяжения к нижнему шарику F = k·q²/(ε·r²); вверх — сила Архимеда F_A = ρ_м·V·g и сила натяжения верхней нити T. Условие равновесия: T + F_A = mg + F, откуда T = F + (ρ_п − ρ_м)·V·g.
F = 9·10⁹ · (3·10⁻⁸)² / (6 · 0,1²) = 9·10⁹ · 9·10⁻¹⁶ / 0,06 = 1,35·10⁻⁴ Н.
(ρ_п − ρ_м)·V·g = (130 − 800) · 4,19·10⁻⁹ · 9,8 ≈ −2,75·10⁻⁵ Н.
T ≈ 1,35·10⁻⁴ − 0,275·10⁻⁴ ≈ 1,07·10⁻⁴ Н ≈ 0,11 мН.
Ответ: T ≈ 0,11 мН.