§ 77. Примеры решения задач по теме «Свойства жидкости» — с. 256
§ 77. Задача для самостоятельного решения 1. Определите разность уровней жидкости плотностью ρ в двух сообщающихся капиллярах радиусом r каждый, если один их них полностью смачивается, а другой полностью не смачивается жидкостью. Коэффициент поверхностного натяжения жидкости σ.
Полностью смачиваемый капилляр (θ = 0): жидкость поднимается над уровнем в широком сосуде на h₁ = 2σ/(ρgr). В полностью несмачиваемом капилляре (θ = π) мениск выпуклый, уровень опускается ниже уровня в сосуде на h₂ = 2σ/(ρgr). Здесь использована формула (12.4): h = 2σ cos θ/(ρgr).
Капилляры сообщаются, поэтому в широкой части (или в общем сосуде) уровень один и тот же. Разность уровней в двух капиллярах:
Δh = h₁ + h₂ = 4σ/(ρgr).
Ответ: Δh = 4σ/(ρgr).
Капилляры сообщаются, поэтому в широкой части (или в общем сосуде) уровень один и тот же. Разность уровней в двух капиллярах:
Δh = h₁ + h₂ = 4σ/(ρgr).
Ответ: Δh = 4σ/(ρgr).
§ 77. Задача для самостоятельного решения 2. В вертикальной капиллярной трубке из смачиваемого водой материала находится вода. Чему будет равна высота столбика воды в капилляре, если сосуд с жидкостью начать поднимать с ускорением 4,9 м/с²?
Радиус капилляра 1 мм, коэффициент поверхностного натяжения воды 0,073 Н/м.
Смачивание полное (θ = 0), плотность воды ρ = 1000 кг/м³. При движении сосуда вверх с ускорением a вода в системе отсчёта сосуда находится в поле с эффективным ускорением g' = g + a = 9,8 + 4,9 = 14,7 м/с². Условие равновесия столбика: 2πrσ = ρπr²h·g', откуда
h = 2σ/(ρ(g + a)r) = 2·0,073/(1000·14,7·1·10⁻³) ≈ 9,9·10⁻³ м ≈ 1 см.
(Без ускорения было бы h₀ = 2σ/(ρgr) ≈ 1,5 см.)
Ответ: h ≈ 1 см (g = 9,8 м/с²).
h = 2σ/(ρ(g + a)r) = 2·0,073/(1000·14,7·1·10⁻³) ≈ 9,9·10⁻³ м ≈ 1 см.
(Без ускорения было бы h₀ = 2σ/(ρgr) ≈ 1,5 см.)
Ответ: h ≈ 1 см (g = 9,8 м/с²).
§ 77. Задача для самостоятельного решения 3. В дне сосуда имеется маленькое отверстие диаметром 0,5 мм. До уровня какой высоты можно налить воду в сосуд, чтобы она не вытекала через отверстие?
Вода не смачивает материал дна, поэтому в отверстии образуется выпуклый мениск (полусфера радиусом r = d/2), который удерживает воду. Вода не вытекает, пока гидростатическое давление ρgh не превышает добавочного (лапласова) давления под выпуклым мениском 2σ/r = 4σ/d.
ρgh = 4σ/d, h = 4σ/(ρgd) = 4·0,073/(1000·9,8·0,5·10⁻³) ≈ 0,060 м = 6 см.
Коэффициент поверхностного натяжения воды σ = 0,073 Н/м взят из условий соседних задач.
Ответ: h ≈ 6 см.
ρgh = 4σ/d, h = 4σ/(ρgd) = 4·0,073/(1000·9,8·0,5·10⁻³) ≈ 0,060 м = 6 см.
Коэффициент поверхностного натяжения воды σ = 0,073 Н/м взят из условий соседних задач.
Ответ: h ≈ 6 см.
§ 77. Задача для самостоятельного решения 4. Капля воды массой 1 г находится между двумя стеклянными плоскопараллельными пластинками, расстояние между которыми 0,04 мм. Коэффициент поверхностного натяжения воды 0,073 Н/м. Считая смачивание полным, вычислите силу, которую надо приложить, чтобы разъединить пластины.
Смачивание полное, поэтому мениск вогнут и имеет форму полуцилиндра радиусом d/2 = 2·10⁻⁵ м. Давление в жидкости ниже атмосферного на Δp = σ/R = 2σ/d. Площадь соприкосновения капли с пластинкой S = V/d = m/(ρd). Сила, прижимающая пластинки друг к другу (и которую надо преодолеть):
F = Δp·S = (2σ/d)·(m/(ρd)) = 2σm/(ρd²).
Подстановка: m = 10⁻³ кг, d = 4·10⁻⁵ м, ρ = 1000 кг/м³:
F = 2·0,073·10⁻³/(1000·(4·10⁻⁵)²) = 1,46·10⁻⁴/(1,6·10⁻⁶) ≈ 91 Н.
Ответ: F ≈ 91 Н.
F = Δp·S = (2σ/d)·(m/(ρd)) = 2σm/(ρd²).
Подстановка: m = 10⁻³ кг, d = 4·10⁻⁵ м, ρ = 1000 кг/м³:
F = 2·0,073·10⁻³/(1000·(4·10⁻⁵)²) = 1,46·10⁻⁴/(1,6·10⁻⁶) ≈ 91 Н.
Ответ: F ≈ 91 Н.
§ 77. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. Определите коэффициент поверхностного натяжения жидкости, если сила, удерживающая рамку длиной 8 см в равновесии, равна 7 мН (см. рис. 12.2).
Рамка с плёнкой жидкости (рис. 12.2) имеет две поверхности, поэтому сила поверхностного натяжения Fн = 2σl, и в равновесии внешняя сила F = Fн. Отсюда
σ = F/(2l) = 7·10⁻³/(2·0,08) = 0,04375 Н/м ≈ 4,4·10⁻² Н/м.
Ответ: σ ≈ 4,4·10⁻² Н/м.
Оговорка: в ответах учебника 4,35·10⁻² Н/м; при точном расчёте получается 4,375·10⁻², различие — в округлении.
σ = F/(2l) = 7·10⁻³/(2·0,08) = 0,04375 Н/м ≈ 4,4·10⁻² Н/м.
Ответ: σ ≈ 4,4·10⁻² Н/м.
Оговорка: в ответах учебника 4,35·10⁻² Н/м; при точном расчёте получается 4,375·10⁻², различие — в округлении.
§ 77. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. Какую работу надо совершить, чтобы выдуть мыльный пузырь радиусом 1 см?
Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора 0,04 Н/м.
У мыльного пузыря две поверхности (внешняя и внутренняя), поэтому полная площадь поверхности ΔS = 2·4πr². Работа внешних сил идёт на увеличение площади поверхности: A = σΔS = 8πσr².
A = 8·3,14·0,04·(10⁻²)² = 1,0·10⁻⁴ Дж = 100 мкДж.
Ответ: A ≈ 100 мкДж.
A = 8·3,14·0,04·(10⁻²)² = 1,0·10⁻⁴ Дж = 100 мкДж.
Ответ: A ≈ 100 мкДж.
§ 77. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. Радиус мыльного пузыря равен 1 см. Найдите разность давлений воздуха внутри и вне пузыря. Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора 0,04 Н/м.
Мыльная плёнка имеет две сферические поверхности почти одинакового радиуса, каждая создаёт добавочное давление 2σ/r. Полная разность давлений
Δp = 2·(2σ/r) = 4σ/r = 4·0,04/10⁻² = 16 Па.
Ответ: Δp = 16 Па.
Δp = 2·(2σ/r) = 4σ/r = 4·0,04/10⁻² = 16 Па.
Ответ: Δp = 16 Па.
§ 77. Образец заданий ЕГЭ, задание 4. На какую высоту поднимется вода между двумя параллельными стеклянными пластинами, если расстояние между ними 0,2 мм?
Смачивание стекла водой полное, мениск между пластинами — полуцилиндр радиусом d/2, добавочное давление σ/(d/2) = 2σ/d. Оно уравновешивается гидростатическим давлением столба: ρgh = 2σ/d, откуда
h = 2σ/(ρgd) = 2·0,073/(1000·9,8·2·10⁻⁴) ≈ 7,4·10⁻² м ≈ 7,4 см (σ воды 0,073 Н/м).
Ответ: h ≈ 7,4 см.
h = 2σ/(ρgd) = 2·0,073/(1000·9,8·2·10⁻⁴) ≈ 7,4·10⁻² м ≈ 7,4 см (σ воды 0,073 Н/м).
Ответ: h ≈ 7,4 см.
§ 77. Образец заданий ЕГЭ, задание 5. Какого диаметра должны быть капилляры дерева, чтобы вода поднималась по стволу на высоту 10 м?
Для полного смачивания высота подъёма h = 2σ/(ρgr). Радиус капилляра r = 2σ/(ρgh) = 2·0,073/(1000·9,8·10) ≈ 1,5·10⁻⁶ м = 1,5 мкм, диаметр d = 2r ≈ 3 мкм.
Ответ: d ≈ 3 мкм (радиус ≈ 1,5 мкм).
Оговорка: в ответах учебника указано 1,5 мкм — это радиус капилляра, а не диаметр.
Ответ: d ≈ 3 мкм (радиус ≈ 1,5 мкм).
Оговорка: в ответах учебника указано 1,5 мкм — это радиус капилляра, а не диаметр.
§ 77. Образец заданий ЕГЭ, задание 6. В капилляре, опущенном в жидкость, жидкость поднялась на высоту 3 см. Чему равна максимальная высота столбика, который может удержать этот капилляр, вынутый из жидкости?
Пусть смачивание полное. В капилляре, опущенном в жидкость, сила поверхностного натяжения одного (верхнего) мениска 2πrσ уравновешивает вес столбика высотой h = 3 см: 2πrσ = ρgπr²h.
В вынутом из жидкости капилляре столбик имеет два мениска (верхний и нижний), и сила поверхностного натяжения на каждом из них направлена вдоль стенки вверх. Поэтому предельное равновесие: 2·2πrσ = ρgπr²h_max, откуда h_max = 2h = 6 см.
Ответ: 6 см.
Оговорка: в ответах учебника к этому заданию ответа нет; решение получено самостоятельно.
В вынутом из жидкости капилляре столбик имеет два мениска (верхний и нижний), и сила поверхностного натяжения на каждом из них направлена вдоль стенки вверх. Поэтому предельное равновесие: 2·2πrσ = ρgπr²h_max, откуда h_max = 2h = 6 см.
Ответ: 6 см.
Оговорка: в ответах учебника к этому заданию ответа нет; решение получено самостоятельно.
§ 77. Образец заданий ЕГЭ, задание 7. В капилляре форма поверхности жидкости иногда представляет собой вогнутый мениск. Это объясняется
1) явлением поверхностного натяжения
2) явлением смачивания или несмачивания поверхности капилляра жидкостью
3) стремлением жидкости принять форму капли
4) явлением смачивания и поверхностного натяжения
1) явлением поверхностного натяжения
2) явлением смачивания или несмачивания поверхности капилляра жидкостью
3) стремлением жидкости принять форму капли
4) явлением смачивания и поверхностного натяжения
Форму мениска определяет смачивание: если жидкость смачивает стенки капилляра, мениск вогнутый, если не смачивает — выпуклый (§ 76). Слово «иногда» в условии как раз показывает, что форма поверхности зависит от того, смачивает жидкость стенки или нет. Поверхностное натяжение объясняет не знак кривизны, а то, что искривлённая поверхность создаёт добавочное давление и жидкость поднимается или опускается в капилляре.
Ответ: 2) явлением смачивания или несмачивания поверхности капилляра жидкостью.
Оговорка: в таблице ответов учебника этого задания нет; вариант 4) тоже можно счесть допустимым, но по тексту параграфа форму поверхности определяет именно смачивание.
Ответ: 2) явлением смачивания или несмачивания поверхности капилляра жидкостью.
Оговорка: в таблице ответов учебника этого задания нет; вариант 4) тоже можно счесть допустимым, но по тексту параграфа форму поверхности определяет именно смачивание.