Глава 10. § 70. Примеры решения задач по теме «Определение параметров газа по графикам изопроцессов» — с. 235
§ 70. Задача для самостоятельного решения 1. Постройте изохоры для кислорода массой 16 г и объёмом 1 л в координатах р, V; V, Т и р, Т.
Количество вещества ν = m/M = 16 г / 32 г/моль = 0,5 моль, объём V = 1 л = 10⁻³ м³ постоянен.
Уравнение изохоры: p = νRT/V = 0,5 · 8,31 / 10⁻³ · T ≈ 4155·T Па, то есть p пропорционально T. Например, при T = 300 К p ≈ 1,25·10⁶ Па = 1,25 МПа, при T = 600 К p ≈ 2,5 МПа.
Графики:
1) в координатах p, V изохора — вертикальный отрезок при V = 1 л; с ростом температуры точка поднимается вверх (от 300 К к 600 К);
2) в координатах V, T изохора — горизонтальная прямая V = 1 л, параллельная оси T;
3) в координатах p, T изохора — прямая, проходящая через начало координат (на графике — только T > 0), с наклоном ≈ 4,2·10³ Па/К.
Ответ: см. рисунок.
Уравнение изохоры: p = νRT/V = 0,5 · 8,31 / 10⁻³ · T ≈ 4155·T Па, то есть p пропорционально T. Например, при T = 300 К p ≈ 1,25·10⁶ Па = 1,25 МПа, при T = 600 К p ≈ 2,5 МПа.
Графики:
1) в координатах p, V изохора — вертикальный отрезок при V = 1 л; с ростом температуры точка поднимается вверх (от 300 К к 600 К);
2) в координатах V, T изохора — горизонтальная прямая V = 1 л, параллельная оси T;
3) в координатах p, T изохора — прямая, проходящая через начало координат (на графике — только T > 0), с наклоном ≈ 4,2·10³ Па/К.
Ответ: см. рисунок.
§ 70. Задача для самостоятельного решения 2. На рисунке 10.9 представлен график изменения состояния идеального газа в координатах V, Т. Представьте этот процесс на графиках в координатах р, V и р, Т.
[рисунок 10.9: в осях V (вертикальная), T (горизонтальная) треугольник 1–2–3: из точки 1 наклонная прямая, продолжение которой проходит через начало координат, идёт вверх вправо в точку 2; из точки 2 вертикальный отрезок вниз в точку 3; из точки 3 горизонтальный отрезок влево в точку 1]
[рисунок 10.9: в осях V (вертикальная), T (горизонтальная) треугольник 1–2–3: из точки 1 наклонная прямая, продолжение которой проходит через начало координат, идёт вверх вправо в точку 2; из точки 2 вертикальный отрезок вниз в точку 3; из точки 3 горизонтальный отрезок влево в точку 1]
Определим процессы по графику V, T.
1) 1→2: прямая, продолжение которой проходит через начало координат, — это изобара (p = const): V/T = const. Объём и температура растут (по рисунку V₂ ≈ 4V₁, T₂ ≈ 4T₁).
2) 2→3: T = const (вертикальный отрезок) — изотерма. Объём уменьшается до V₁, значит, по закону Бойля—Мариотта давление растёт: p₃ = p₁V₂/V₃ = 4p₁.
3) 3→1: V = const (горизонтальный отрезок) — изохора. Температура уменьшается до T₁, давление уменьшается по закону Шарля до p₁.
Графики (рисунок):
в координатах p, V: 1→2 — горизонтальный отрезок вправо, 2→3 — ветвь гиперболы влево и вверх, 3→1 — вертикальный отрезок вниз;
в координатах p, T: 1→2 — горизонтальный отрезок вправо, 2→3 — вертикальный отрезок вверх, 3→1 — отрезок прямой, продолжение которой проходит через начало координат (изохора).
Значения 4V₁, 4T₁, 4p₁ взяты для наглядности по масштабу рисунка 10.9.
1) 1→2: прямая, продолжение которой проходит через начало координат, — это изобара (p = const): V/T = const. Объём и температура растут (по рисунку V₂ ≈ 4V₁, T₂ ≈ 4T₁).
2) 2→3: T = const (вертикальный отрезок) — изотерма. Объём уменьшается до V₁, значит, по закону Бойля—Мариотта давление растёт: p₃ = p₁V₂/V₃ = 4p₁.
3) 3→1: V = const (горизонтальный отрезок) — изохора. Температура уменьшается до T₁, давление уменьшается по закону Шарля до p₁.
Графики (рисунок):
в координатах p, V: 1→2 — горизонтальный отрезок вправо, 2→3 — ветвь гиперболы влево и вверх, 3→1 — вертикальный отрезок вниз;
в координатах p, T: 1→2 — горизонтальный отрезок вправо, 2→3 — вертикальный отрезок вверх, 3→1 — отрезок прямой, продолжение которой проходит через начало координат (изохора).
Значения 4V₁, 4T₁, 4p₁ взяты для наглядности по масштабу рисунка 10.9.
§ 70. Задача для самостоятельного решения 3. Газ перешёл из состояния 1 в состояние 2 (рис 10.10). Масса газа постоянна. Как изменилось давление газа?
[рисунок 10.10: график в осях V (вертикальная), T (горизонтальная); кривая из точки 1 (малая T, большой объём) спускается вниз до минимума, затем поднимается до небольшого максимума и снова немного опускается в точку 2 (большая T, объём заметно меньше, чем в точке 1)]
[рисунок 10.10: график в осях V (вертикальная), T (горизонтальная); кривая из точки 1 (малая T, большой объём) спускается вниз до минимума, затем поднимается до небольшого максимума и снова немного опускается в точку 2 (большая T, объём заметно меньше, чем в точке 1)]
Из уравнения состояния pV = νRT при ν = const получаем p = νR·(T/V), то есть давление пропорционально отношению T/V — обратной величине тангенса угла наклона луча, проведённого из начала координат к точке графика V, T.
В состоянии 1 температура мала, а объём велик: отношение T₁/V₁ мало (луч из начала координат к точке 1 идёт круто вверх). В состоянии 2 температура намного больше, а объём меньше: T₂/V₂ много больше T₁/V₁ (луч к точке 2 идёт полого). По рисунку отношение T/V возрастает примерно в 10–15 раз.
Ответ: давление газа увеличилось (значительно, примерно на порядок). Промежуточные значения T/V на кривой нас не интересуют — давление определяется только начальным и конечным состояниями.
Оговорка: численное отношение давлений оценено по масштабу рисунка приближённо; качественный вывод (давление возросло) от масштаба не зависит.
В состоянии 1 температура мала, а объём велик: отношение T₁/V₁ мало (луч из начала координат к точке 1 идёт круто вверх). В состоянии 2 температура намного больше, а объём меньше: T₂/V₂ много больше T₁/V₁ (луч к точке 2 идёт полого). По рисунку отношение T/V возрастает примерно в 10–15 раз.
Ответ: давление газа увеличилось (значительно, примерно на порядок). Промежуточные значения T/V на кривой нас не интересуют — давление определяется только начальным и конечным состояниями.
Оговорка: численное отношение давлений оценено по масштабу рисунка приближённо; качественный вывод (давление возросло) от масштаба не зависит.
§ 70. Задача для самостоятельного решения 4. Начертите графики зависимости плотности газа от температуры при изобарном процессе и плотности газа от давления при изохорном процессе. Масса газа постоянна.
Плотность ρ = m/V; из уравнения состояния pV = (m/M)·RT получаем ρ = pM/(RT).
1) Изобарный процесс (p = const): ρ = pM/(RT) — плотность обратно пропорциональна температуре, ρ ∼ 1/T. График ρ(T) — ветвь гиперболы, лежащая в первой четверти (при росте T плотность убывает).
2) Изохорный процесс (V = const): так как масса газа и объём не меняются, ρ = m/V = const, плотность не зависит от давления. График ρ(p) — горизонтальная прямая, параллельная оси давлений.
Ответ: см. рисунок.
1) Изобарный процесс (p = const): ρ = pM/(RT) — плотность обратно пропорциональна температуре, ρ ∼ 1/T. График ρ(T) — ветвь гиперболы, лежащая в первой четверти (при росте T плотность убывает).
2) Изохорный процесс (V = const): так как масса газа и объём не меняются, ρ = m/V = const, плотность не зависит от давления. График ρ(p) — горизонтальная прямая, параллельная оси давлений.
Ответ: см. рисунок.