Задачи повышенной трудности. Задачи на построение — с. 118
442. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.
Даны отрезки c, b и h; нужно построить треугольник ABC, у которого AB = c, AC = b, а высота AH, проведённая к стороне BC, равна h.
Анализ. Пусть треугольник ABC построен. Сторона AB и высота AH — гипотенуза и катет прямоугольного треугольника ABH. Поэтому сначала строим этот треугольник, а затем достраиваем его до треугольника ABC.
Построение.
1) Строим прямоугольный треугольник ABH по гипотенузе AB = c и катету AH = h (строим прямой угол с вершиной H, на одной стороне откладываем HA = h, затем окружность с центром A радиуса c пересекает другую сторону в точке B).
2) Строим окружность с центром A радиуса b; точку её пересечения с прямой BH обозначаем C.
3) Соединяем A, B, C.
Доказательство. AB = c, AC = b по построению, AH ⊥ BC и AH = h, то есть треугольник ABC удовлетворяет условиям.
Исследование. Если c < h или b < h, решений нет (наклонная не короче перпендикуляра). Если c = b = h, решений нет. Если c > h и b = h, одно решение: прямоугольный треугольник (C = H). Если c > h и b = c, одно решение: равнобедренный треугольник (C симметрична B относительно H). Если c > h, b > h и b ≠ c, два решения: C лежит по разные стороны от H (треугольники ABC и ABC1 на рисунке).
Анализ. Пусть треугольник ABC построен. Сторона AB и высота AH — гипотенуза и катет прямоугольного треугольника ABH. Поэтому сначала строим этот треугольник, а затем достраиваем его до треугольника ABC.
Построение.
1) Строим прямоугольный треугольник ABH по гипотенузе AB = c и катету AH = h (строим прямой угол с вершиной H, на одной стороне откладываем HA = h, затем окружность с центром A радиуса c пересекает другую сторону в точке B).
2) Строим окружность с центром A радиуса b; точку её пересечения с прямой BH обозначаем C.
3) Соединяем A, B, C.
Доказательство. AB = c, AC = b по построению, AH ⊥ BC и AH = h, то есть треугольник ABC удовлетворяет условиям.
Исследование. Если c < h или b < h, решений нет (наклонная не короче перпендикуляра). Если c = b = h, решений нет. Если c > h и b = h, одно решение: прямоугольный треугольник (C = H). Если c > h и b = c, одно решение: равнобедренный треугольник (C симметрична B относительно H). Если c > h, b > h и b ≠ c, два решения: C лежит по разные стороны от H (треугольники ABC и ABC1 на рисунке).